Autor Tema: Operadores autoadjuntos compactos

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01 Junio, 2016, 11:30 pm
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serpa

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Hola a todos. Estoy tratando de entender la demostración de la parte 3 del siguiente corolario.
Asumiremos que los \(  \lambda_{i}^{+} \) son los autovalores positivos de T y \(  \lambda_{i}^{-} \) los negativos, los \( e_i^{+} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores positivos y los \( e_i^{-} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores negativos.

También asumiremos que \(  \lambda_1^{+}\geq{\lambda_2^{+}}\geq{}..... \) y \( \lambda_1^{-}\leq{\lambda_2^{-}}\leq{...} \).

Corolario: Sea \( H \) un espacio de Hilbert de dimensión infinita y \( T:H\longrightarrow{H} \) un operador autoadjunto compacto. Entonces

i) Si existe un autovalor positivo, entonces \( \displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \); si existe un autovalor negativo entonces \( \displaystyle \min_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{-} \).

ii) \( <Tx,x>\geq{0} \) para todo \( x\in{H} \) si y sólo si \( T \) no tiene autovalores negativos.

iii) Sea  \(   \lambda^{+}=\lambda_{1}^{+} \) si existe un autovalor positivo y \(  \lambda^{+}=0 \) en otro caso. Similarmente \(   \lambda^{-}=\lambda_{1}^{-} \) si existe un autovalor negativo y \(  \lambda^{-}=0 \) en otro caso. Entonces
\( \displaystyle \sup _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{+} \) y  \( \displaystyle \inf _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{-} \)


Demostración:

iii) Si existe un autovalor positivo entonces \( \displaystyle \sup_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \) por la parte (i). Si no existe un autovalor positivo, entonces \( <Tx,x>\leq{=} \), para todo \( x\in{H} \). Luego \(  \lambda_i\longrightarrow{0} \) cuando \( i\longrightarrow{\infty} \) (o es cero a partir de un i) Podemos tomar \( x_n=e_{n}^{-} \) y obtenemos \( <Tx_n,x_n>=\lambda^{-}_{n}\longrightarrow{0} \) (\( n\longrightarrow{\infty} \)). Luego \( \lambda^{+}=0 \). (NO ENTIENDO COMO CONCLUYEN EL TEOREMA CON ESTO  :banghead:) De manera analoga se prueba para \( \lambda^{-} \).


Saludos

02 Junio, 2016, 12:00 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos. Estoy tratando de entender la demostración de la parte 3 del siguiente corolario.
Asumiremos que los \(  \lambda_{i}^{+} \) son los autovalores positivos de T y \(  \lambda_{i}^{-} \) los negativos, los \( e_i^{+} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores positivos y los \( e_i^{-} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores negativos.

También asumiremos que \(  \lambda_1^{+}\geq{\lambda_2^{+}}\geq{}..... \) y \( \lambda_1^{-}\leq{\lambda_2^{-}}\leq{...} \).

Corolario: Sea \( H \) un espacio de Hilbert de dimensión infinita y \( T:H\longrightarrow{H} \) un operador autoadjunto compacto. Entonces

i) Si existe un autovalor positivo, entonces \( \displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \); si existe un autovalor negativo entonces \( \displaystyle \min_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{-} \).

ii) \( <Tx,x>\geq{0} \) para todo \( x\in{H} \) si y sólo si \( T \) no tiene autovalores negativos.

iii) Sea  \(   \lambda^{+}=\lambda_{1}^{+} \) si existe un autovalor positivo y \(  \lambda^{+}=0 \) en otro caso. Similarmente \(   \lambda^{-}=\lambda_{1}^{-} \) si existe un autovalor negativo y \(  \lambda^{-}=0 \) en otro caso. Entonces
\( \displaystyle \sup _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{+} \) y  \( \displaystyle \inf _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{-} \)


Demostración:

iii) Si existe un autovalor positivo entonces \( \displaystyle \sup_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \) por la parte (i). Si no existe un autovalor positivo, entonces \( <Tx,x>\leq{=} \), para todo \( x\in{H} \). Luego \(  \lambda_i\longrightarrow{0} \) cuando \( i\longrightarrow{\infty} \) (o es cero a partir de un i) Podemos tomar \( x_n=e_{n}^{-} \) y obtenemos \( <Tx_n,x_n>=\lambda^{-}_{n}\longrightarrow{0} \) (\( n\longrightarrow{\infty} \)). Luego \( \lambda^{+}=0 \). (NO ENTIENDO COMO CONCLUYEN EL TEOREMA CON ESTO  :banghead:) De manera analoga se prueba para \( \lambda^{-} \).

No estoy seguro de qué es exactamente lo que no entiendes.

Fíjate que por una parte si \( <Tx,x>\leq 0 \) para todo \( x\in H \) entonces \( \displaystyle \sup _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>\leq 0 \).

Si además \( <Tx_n,x_n>\to 0 \) con \( \|x_n\|=1 \) entonces el supremo es exactamente cero, ya que existen valores de \( <Tx,x> \) con \( \|x\|=1 \) tan próximos a cero como queramos.

Saludos.

02 Junio, 2016, 11:52 pm
Respuesta #2

serpa

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Muchas gracias el_manco. Creo que lo que me confundía era cuando concluían que \( \lambda^{+}=0 \). Ya esta parte está clara. Ahora tengo una duda (otra  :banghead:) con el siguiente corolario. Lo escribí en este mismo hilo porque utiliza el corolario anterior.

Corolario:(Principio del min-max): Sea H un espacio de Hilbert y \( T:H\longrightarrow{H} \) un operador autoadjunto compacto. Sea \( \lambda_{n+1}^{+}>0 \) (esto es, existen al menos n+1 autovalores positivos), entonces:

\( \lambda_{n+1}^{+}=\displaystyle \min_{\{x_1,x_2,...,x_n\}} \varphi(x_1,...,x_n) \),

donde \( \varphi(x_1,...,x_n)=\displaystyle \sup_{ \left\|{x}\right\|=1} \{<Tx,x> : x\in{(<x_1,...,x_n>)^\perp{}}\} \).

Demostración: Sabemos por el corolario anterior aplicado a T restringido al espacio \( (<x_1,...,x_n>)^\perp{} \) que

\( \lambda_{n+1}^{+}=\displaystyle \max \{<Tx,x>:x\perp{e_{i}^{+}}, i=1,2,...,n\} \) (¿POR QUE?  :banghead:  :banghead:  :banghead:)

Hasta ahora esta es mi duda en este corolario. Les agradezco de antemano por su atención.

Un saludo.

03 Junio, 2016, 11:17 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias el_manco. Creo que lo que me confundía era cuando concluían que \( \lambda^{+}=0 \). Ya esta parte está clara. Ahora tengo una duda (otra  :banghead:) con el siguiente corolario. Lo escribí en este mismo hilo porque utiliza el corolario anterior.

Corolario:(Principio del min-max): Sea H un espacio de Hilbert y \( T:H\longrightarrow{H} \) un operador autoadjunto compacto. Sea \( \lambda_{n+1}^{+}>0 \) (esto es, existen al menos n+1 autovalores positivos), entonces:

\( \lambda_{n+1}^{+}=\displaystyle \min_{\{x_1,x_2,...,x_n\}} \varphi(x_1,...,x_n) \),

donde \( \varphi(x_1,...,x_n)=\displaystyle \sup_{ \left\|{x}\right\|=1} \{<Tx,x> : x\in{(<x_1,...,x_n>)^\perp{}}\} \).

Demostración: Sabemos por el corolario anterior aplicado a T restringido al espacio \( (<x_1,...,x_n>)^\perp{} \) que

\( \lambda_{n+1}^{+}=\displaystyle \max \{<Tx,x>:x\perp{e_{i}^{+}}, i=1,2,...,n\} \) (¿POR QUE?  :banghead:  :banghead:  :banghead:)

Hasta ahora esta es mi duda en este corolario. Les agradezco de antemano por su atención.

Entiendo que esos \( x_i \) son los \( e_i^+ \).

Entonces simplemente es aplicar el resultado de tu primera pregunta a la restricción de \( T \) al espacio:

\( H'=(<x_1,x_2,\ldots,x_n>)^\bot=\{x\in J|x\perp x_i,\quad i=1,2,\ldots,n\} \)

Nota que \( e_{n+1}^+\in H' \) porque \( e_{n+1}^+ \) es ortogonal a los \( x_i=e_i^+ \), y por tanto el correspondiente autovalor \( \lambda_{n+1}^+ \) lo es también de la restricción.

No sé si con esto te queda aclarado; en caso contrario intenta especificar al máximo la duda.

Saludos.

03 Junio, 2016, 11:42 am
Respuesta #4

serpa

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Hola. Muchas gracias por responder. La ultima duda es por que al aplicar el corolario anterior el maximo resulta siendo \( \lambda_{n+1}^{+} \) y no \( \lambda_{1}^{+} \) que es mayor?


Saludos

03 Junio, 2016, 11:45 am
Respuesta #5

serpa

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Acaso es porque \( e_{1}^{+} \) no es orthogonal a si mismo?

03 Junio, 2016, 11:46 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Acaso es porque \( e_{1}^{+} \) no es orthogonal a si mismo?

¡Claro! Los primeros \( n \) autovectores, \( e_1^+,\ldots,e_n^+ \) NO están en el subespacio:

\( H'=(<x_1,x_2,\ldots,x_n>)^\bot=\{x\in J|x\perp x_i,\quad i=1,2,\ldots,n\} \)

Saludos.

03 Junio, 2016, 11:50 am
Respuesta #7

serpa

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Muchas gracias de nuevo. Ese detalle de que \( x_n=e_{n}^{+} \) no lo especificaba el libro. Ahora todo está claro. Un saludos  :aplauso: