Hola a todos. Estoy tratando de entender la demostración de la parte 3 del siguiente corolario.
Asumiremos que los \( \lambda_{i}^{+} \) son los autovalores positivos de T y \( \lambda_{i}^{-} \) los negativos, los \( e_i^{+} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores positivos y los \( e_i^{-} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores negativos.
También asumiremos que \( \lambda_1^{+}\geq{\lambda_2^{+}}\geq{}..... \) y \( \lambda_1^{-}\leq{\lambda_2^{-}}\leq{...} \).
Corolario: Sea \( H \) un espacio de Hilbert de dimensión infinita y \( T:H\longrightarrow{H} \) un operador autoadjunto compacto. Entonces
i) Si existe un autovalor positivo, entonces \( \displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \); si existe un autovalor negativo entonces \( \displaystyle \min_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{-} \).
ii) \( <Tx,x>\geq{0} \) para todo \( x\in{H} \) si y sólo si \( T \) no tiene autovalores negativos.
iii) Sea \( \lambda^{+}=\lambda_{1}^{+} \) si existe un autovalor positivo y \( \lambda^{+}=0 \) en otro caso. Similarmente \( \lambda^{-}=\lambda_{1}^{-} \) si existe un autovalor negativo y \( \lambda^{-}=0 \) en otro caso. Entonces
\( \displaystyle \sup _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{+} \) y \( \displaystyle \inf _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{-} \)
Demostración:iii) Si existe un autovalor positivo entonces \( \displaystyle \sup_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \) por la parte (i). Si no existe un autovalor positivo, entonces \( <Tx,x>\leq{=} \), para todo \( x\in{H} \). Luego \( \lambda_i\longrightarrow{0} \) cuando \( i\longrightarrow{\infty} \) (o es cero a partir de un i) Podemos tomar \( x_n=e_{n}^{-} \) y obtenemos \( <Tx_n,x_n>=\lambda^{-}_{n}\longrightarrow{0} \) (\( n\longrightarrow{\infty} \)). Luego \( \lambda^{+}=0 \). (NO ENTIENDO COMO CONCLUYEN EL TEOREMA CON ESTO
) De manera analoga se prueba para \( \lambda^{-} \).
Saludos
