Autor Tema: Una función diferenciable en un punto es diferenciable también en una vecindad?

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26 Mayo, 2016, 08:56 pm
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javier m

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Hola a todos.

Tengo esta duda: Si una función \( f: \mathbb{R} \to  \mathbb{R}   \) es diferenciable en un punto, ¿es también diferenciable en alguna vecindad del punto?

Gracias por la atención.


26 Mayo, 2016, 09:01 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Editado

En general no pasa eso.

Un contraejemplo:

\(  f(x) = \begin{cases}  x^2   & \text{para} & x \in \mathbb{Q} \\ -x^2   & \text{para} & x \in   \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}  \)

Sólo es derivable en \(  x = 0  \)

28 Mayo, 2016, 03:01 am
Respuesta #2

javier m

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Muchas gracias  :), y sólo por curiosidad: si la función \( f \) es continua será que si se tiene el resultado?

28 Mayo, 2016, 03:13 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Ostras me pillaste te meto este monstruo.

\(  g(x) = x^2 \cdot K(x)  \)

Donde \(  k  \) es la función de Weierstrass

Espera a una revisión mejor.

28 Mayo, 2016, 03:15 am
Respuesta #4

Juanq

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Holas lo q dices es falso, solo seria diferenciable en el punto, no es alguna vecindad, y no pasa nada si es continua en ese punto, ese dato es insuficiente .

28 Mayo, 2016, 03:20 am
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Creo que Javier  m supone continua en una vecindad del punto.

28 Mayo, 2016, 04:33 am
Respuesta #6

javier m

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Ostras me pillaste te meto este monstruo.

\(  g(x) = x^2 \cdot K(x)  \)

Donde \(  k  \) es la función de Weierstrass

Espera a una revisión mejor.

Usshh! Señor Juan Pablo, usted es diabólico.