Autor Tema: Derivada función inversa.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Mayo, 2016, 02:52 am
Leído 3048 veces

Samir M.

  • Physicsguy.
  • Moderador Global
  • Mensajes: 997
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • I'm back^3.
Supongamos que \( y=f(x) \). La derivada de su inversa se puede enunciar formalmente  como:

Sea \( f : I \to \mathbb{R} \) inyectiva y continua, con \( I \) un intervalo abierto. Si \( f \) es derivable en \( a \in I \) y \( f'(a) \neq 0 \), entonces \( f^{-1}: \operatorname{Im}(f) \to I \) es derivable en \( b = f(a) \) y \( (f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)} \) o, en notación de Leibniz: \( \dfrac{dx}{dy} \Bigg|_{y = b} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \Bigg|_{x = a} \right)}. \)

Como la notación de Leibniz lía un poco vamos a verlo de otra manera:

Dada \( y=f(x) \) bajo las condiciones anteriores tenemos que se cumple que \( \color{blue}\mbox{1)}\color{black} ~ x = f^{-1}(y) \), \( \color{blue}\mbox{2)} \color{black}~ y=f(f^{-1}(y)) \) y también que

\( 1 = \dfrac{d}{dy}(y) \stackrel{\color{blue}2)}{=} \dfrac{d}{dy}(f(f^{-1}(y))) = \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy} (f'(f^{-1}(y))) \stackrel{\color{blue}1)}{=} \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy} f'(x) \) luego \( \dfrac{1}{f'(x)} = \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy}  \).

Fíjate que, de nuevo, si usamos la notación de Leibniz obtenemos lo mismo que al principio: \( \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \)
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.