Autor Tema: conjunto cerrado

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13 Mayo, 2016, 02:44 am
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juanc

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hola espero su ayuda en lo siguiente:

Pruebe que todo conjunto cerrado \( F\subset{\mathbb{R}^n} \) es frontera de algún subconjunto  \( X\subset{\mathbb{R}^n} \)

13 Mayo, 2016, 03:15 am
Respuesta #1

javier m

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Qué tal si consideras este conjunto \( F \cap \mathbb{Q}^n \)?

13 Mayo, 2016, 03:46 am
Respuesta #2

juanc

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tendría que demostrar que frontera  \( F=frontera(F\cap{Q^n}) \)
dicho de esa forma una inclusión  sale

pero esta inclusión como lo haría :\( F\subseteq{}frontera(F\cap{Q^n}) \)


13 Mayo, 2016, 10:06 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Qué tal si consideras este conjunto \( F \cap \mathbb{Q}^n \)?

Ojo, es que esto no funciona siempre.

Por ejemplo si \( F=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x=\sqrt{2}\} \) es cerrado pero \( F\cap \mathbb{Q}^2=\emptyset \) y por tanto obviamente \( F \) no es la frontera de esa intersección.

Puedes tomar \( A=F-(int(F)\cap \mathbb{Q}^n) \).

Dado que \( A\subset F \) y \( F \) es cerrado es claro que \( frontera(A)\subset F \).

Por otra parte dado \( x\in F \):

- Si \( x\not\in int(F) \) entonces \( x\in frontera(F) \) y \( x\in A \). De ahí es inmediato que \( x\in frontera(A) \).

- Si \( x\in int(F) \), entonces dado \( U \) entorno abierto cualquiera de \( x \), \( U\cap  int(F) \) es no vacío y (por la densidad de los racionales y su complementario) contienen puntos en \( int(F)\cap \mathbb{Q}^n\subset \mathbb{R}^n-A \) y en \( int(F)-int(F)\cap \mathbb{Q}^n\subset A \), por tanto \( x\in frontera(A). \)

Saludos.

13 Mayo, 2016, 10:11 am
Respuesta #4

juanc

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gracias por tu ayuda  :)