Autor Tema: Transformación rígida

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10 Mayo, 2016, 04:31 pm
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cibernarco

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Hallar la transformación rígida que lleva el triángulo  \( \triangle{ABC} \) en el triángulo \( \triangle{A´B´C´} \)
siendo A=(-2,4) B=(1,2) C=(0,5) A´=(6,4) B´=(3,2) C'=(4,5).

Yo en la teoría pude entender cómo es la transformación que un punto a otro, pero acá con figuras se me complicó un poco, espero puedan ayudar

otra cosa que entendí es que si el eje de simetría está en (0,0) se podría usar \( (x,y)\longrightarrow{(-x,y)} \) pero en este caso el eje de simetría esta en x=2  entonces se ocurrió que la transformación podría ser, \( (x,y)\longrightarrow{-x+4, y)} \)

¿está bien eso? yo pude llegar a eso dibujando ambos triángulos, ¿pero hay algún otro método analítico?

10 Mayo, 2016, 06:52 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hallarla transformacion rigida que lleva el triangulo  \( \triangle{ABC} \) en el triangulo \( \triangle{A´B´C´} \)
siendo A=(-2,4) B=(1,2) C=(0,5) A´=(6,4) B´=(3,2) C'=(4,5).

Yo en la teoria pude entender como es la transformacion que un punto a otro, pero aca con figuras se me complico un poco , espero puedan ayudar

otra cosa que entendi es que si el eje de simetria esta en (0,0) se podria usar \( (x,y)\longrightarrow{(-x,y)} \) pero en este caso el eje de simetria esta en x=2  entonces se ocurrio que la transformacion podria ser, \( (x,y)\longrightarrow{-x+4, y)} \)

¿esta bien eso? yo pude llegar a eso dibujando ambos triangulos, pero hay algun otro metodo analitico?

Hay una forma infalible de resolver un ejercicio de este tipo. Cualquier tranformación afín es de la forma (la escribo matricialmente):

\( f\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{p}\\{q}\\\end{pmatrix}+\underbrace{\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\\\end{pmatrix}}_{T}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\\end{pmatrix} \)

Entonces imponiendo que cada punto vaya en su imagen tienes un sistema de seis ecuaciones y seis incógnitas:

\( \begin{pmatrix}{6}\\{4}\\\end{pmatrix}=f\begin{pmatrix}{-2}\\{4}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{p}\\{q}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{-2}\\{4}\\\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}{3}\\{2}\\\end{pmatrix}=f\begin{pmatrix}{1}\\{2}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{p}\\{q}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}\\{2}\\\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}{4}\\{5}\\\end{pmatrix}=f\begin{pmatrix}{0}\\{5}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{p}\\{q}\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0}\\{5}\\\end{pmatrix} \)

 Después si quieres clasificar la transformación (si es rígida) tendrás:

- Si el determinante de la matriz \( T \) es \( 1 \) es un giro. El centro de giro es el punto que resulta de resolver la ecuación \( f(x,y)=(x,y). \) El ángulo de giro es aquel que cumple \( a=cos(\alpha) \) y \( c=sin(\alpha). \)

- Si el determinante de la matriz \( T \) es \( -1 \) es una simetría. El eje de simetría es la recta que resulta de resolver la ecuación \( f(x,y)=(x,y). \)

Saludos.

11 Mayo, 2016, 02:24 pm
Respuesta #2

cibernarco

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Muchas gracias, te hago otra consulta, ¿cómo es la forma correcta de escribir esa transformación?

11 Mayo, 2016, 04:05 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas gracias, te hago otra consulta, como es la forma correcta de escribir esa transformacion?

Es que no sé muy bien a que le llamas "forma correcta"; se trata de que des una fórmula que te permita dadas las coordenadas de un punto \( (x,y) \) hallar las de su transformado. La matricial que te he mostrado sería válida; o puedes hacer el producto de las matrices y expresarla más simplificada, en fin...

Otro punto de vista es, además de dar la fórmula interpretarla geométricamente indicando si es giro o simetría y el ángulo de giro o eje de simetría.

Saludos.