Autor Tema: Distancia media de una curva a un punto

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09 Mayo, 2016, 05:44 pm
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sedeort

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Hola. Quería que me ayudaseis a encontrar la expresión para este cálculo.
Siendo la curva f(x), entre los extremos a y b. Y el punto, el origen de coordenadas O (0,0).
La expresión debe incluir una integral definida, creo

Ideé una expresión, más abajo la teneis, pero dudo que parta de una hipótesis correcta.

Quizás para coordenadas polares la expresión sea más sencilla. También tengo una idea.
Pero quisiera que vosotros os anticipeis.
Gracias.

Edito. Todo empezó porque nos gusta salir a correr haciendo un circuito cerrado (supongamos que a una velocidad constante y sobre una trayectoria plana). Dada una distancia total recorrida me planteé el problema de poder calcular cuál había sido el alejamiento medio a un punto central interior y cómo depende de la trayectoria descrita.
Por ejemplo, para 1 km de carrera total y en trayectoria circular, el alejamiento medio al centro es precisamente el radio de la circunferencia, dm=1/2pi=0.159154943...
Para una trayectoria recta de ida y vuelta debe ser la cuarta parte del segmento (¿es correcta mi suposición?), dm=0.125
Se supone que éstas son las trayectorias que dan los valores extremos de la distancia media buscada.
Para una trayectoria cuadrada, la distancia media buscada coincide con la longitud del segmento que une el centro de cuadrado con un punto situado en la cuarta parte de un lado(¿es correcto?) Osea, dm=sqr5 / 16= 0.13975424...
(Tengo dudas de que sea correcto este último planteamiento (de hecho he comprobado después que es erróneo). Por eso me he planteado resolverlo mediante integración para ver si coincide.

También deduje una expresión, para el caso de un polígono regular de n lados, perimetro 1 y centrado en el origen, que calcula la distancia media al centro de los extremos de un semilado del polígono. Es una buena aproximación al problema planteado aquí pero tampoco es la solución exacta buscada.
dm = (1 + cos(π/n)) / (4n sen(π/n))
n = 2,  dm = 1 / 8 = 0.125
n = 3,  dm = √3 / 12 = 0.14433757
n = 4,  dm = (1 + √2) / 16 = 0.15088835
n = 6,  dm = (2 + √3) / 24 = 0.15550212
n = 12, dm = (2 + √2 + √3 + √6) / 48 = 0.15824488
n = ~,  dm = 1 / (2π) = 0.15915494

09 Mayo, 2016, 06:24 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola sedeort

Bienvenido al foro

Conveniente es de que expongas la expresión que lograste. Por otra parte, considera que la distancia de un punto génerico de un punto de la curva al origen es :
\( D(x)=\sqrt[ ]{x^2+f(x)^2}\ dx \), se trata de una función cuyo dominio es \( [a,b] \)y pues simplemente, para tu inquietud se halla el valor medio de esta función \( d_m \).

\( d_m=\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}D(x)\  dx}{b-a} \)


09 Mayo, 2016, 10:21 pm
Respuesta #2

sedeort

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Gracias, delmar.
Tu ecuación parece deducida correctamente. Pero me han surgido dudas a raíz de aplicarlo a funciones de gran pendiente (para el caso extremo de un segmento vertical es indeterminable).

Yo había pensado en una integral a lo largo de la curva entre los dos puntos.

\( r_m=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{a}^{b}rdl \)



donde
rm, distancia media que buscamos
r, distancia del origen a un diferencial de curva genérico, dl.
L, longitud de la curva entre los 2 puntos dados

No sé si los dos métodos llegan a ser equivalentes. Es posible.

09 Mayo, 2016, 10:37 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Gracias, delmar.
Tu ecuación parece deducida correctamente. Pero, para funciones de gran pendiente tengo dudas (para el caso extremo de un segmento vertical no es aplicable).

Yo había pensado en una integral a lo largo de la curva entre los dos puntos.
rm = (Int (r•dl))/L
donde
rm, distancia media que buscamos
r, distancia del origen a un diferencial de curva genérico, dl.
L, longitud de la curva entre los 2 puntos dados
Int, integral definida entre los 2 puntos.

No sé si los dos métodos llegan a ser equivalentes. Es posible.

Si tienes una parametrización de la curva \(  (x(t),y(t)) \) con \( t\in [a,b] \) sería:

\(
\dfrac{\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\|(x'(t),y'(t))\|dt}{L} \)

donde \( L \) es la longitud de la curva:

\( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\|(x'(t),y'(t)\|dt \)

Saludos.

Citar
Perdonad que no utilice una notación más clara. Estoy con el móvil y no sé aplicarla aún.

Tienes que intentar usar LaTeX para las fórmulas.

Saludos.

10 Mayo, 2016, 05:40 am
Respuesta #4

Samir M.

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Yo creo que se debe especificar qué se entiende por distancia media. Por ejemplo, lo que ha puesto el_manco es la distancia media de la curva sobre su longitud de arco (¿no?). Y no veo claro que coincida en valor con lo que ha puesto Delmar a no ser que se recorra con velocidad unitaria. O quizás no estoy entendiendo bien el plantemiento de el_manco: lo que yo entiendo es que halla el valor promedio sobre la longitud de arco de la función distancia con el origen, ¿no? Y esto coincide con la distancia usual dependiendo de si es recorrida con velocidad unidad o no. Aunque claro, el valor de \( L \) se ve afectado por la velocidad a la que se recocorre la curva... Quizás le esté dando un enfoque inadecuado.

--
Editado

Ya lo veo. No estaba entendiéndolo de la manera correcta. Mi duda venía por el factor \( ||x'(t),y'(t)|| \) pero ya veo que es necesario para que la distancia no dependa del parámetro de la curva. En el caso de que \( ||x'(t),y'(t)|| = 1 \) este promedio coincide con el promedio usual de una función en su intervalo de definición. Es decir, lo que yo estaba considerando implícitamente debido al mensaje de Delmar es que el promedio de la función era simplemente

\( \displaystyle \int_a^b d(0,P_i) dt \) siendo \( d(0,P_i) \) la distancia del origen a un punto \( P_i \) de la curva. Pero claro, así estoy hallando el promedio sobre el tiempo, que no coincide con lo que se está pidiendo a no ser que \( ||x'(t),y'(t)|| = 1 \). En otro caso el promedio sobre la longitud de arco da respuesta a este problema.

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

10 Mayo, 2016, 10:24 am
Respuesta #5

sedeort

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He editado mi primer mensaje para indicar el origen de mi preocupación por este problema.
Se ha planteado anteriormente si la integral se hiciera sobre una variable temporal. Yo soy físico y también he considerado esta posibilidad. Creo que si la velocidad es constante es totalmente equivalente el problema. Para un caso y para otro:
\( r_m=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{a}^{b}rdl \)
\( r_m=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{a}^{b}rdt \)
siendo L y T la longitud total del arco y el tiempo total en recorrerlo



Me gustaría que aplicarais vuestras fórmulas integrales a un caso concreto.
Calcular la distancia media de un alambre cuadrado, de perímetro 1, a su centro.
(Pongo una solución, 0.13975424..., explicada en el primer mensaje)

10 Mayo, 2016, 10:47 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

He editado mi primer mensaje para indicar el origen de mi preocupación por este problema.
Se ha planteado anteriormente si la integral se hiciera sobre una variable temporal. Yo soy físico y también he considerado esta posibilidad. Creo que si la velocidad es constante es totalmente equivalente el problema. Para un caso y para otro:
\( r_m=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{a}^{b}rdl \)
\( r_m=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_{a}^{b}rdt \)
siendo L y T la longitud total del arco y el tiempo total en recorrerlo


Me gustaría que aplicarais vuestras fórmulas integrales a un caso concreto.
Calcular la distancia media de un alambre cuadrado, de perímetro 1, a su centro.
(Pongo una solución, 0.13975424..., explicada en el primer mensaje)

No obtengo lo mismo.

Para un cuadrado de perímetro \( 1 \) y centro el origen, un lado se parametriza por:

\( (x(t),y(t))=(0,t) \) con \( t\in [-1/8,1/8] \)

Obviamente es lo mismo la media en todo el cuadrado que en un sólo lado. Quedaría:

\( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\|(x'(t),y'(t))\|dt}{L}=\dfrac{\displaystyle\int_{-1/8}^{1/8}\sqrt{(1/8)^2+t^2}dt}{1/4}=\dfrac{1}{16}(\sqrt{2}+Arcsinh(1))=0.143474 \)

Saludos.

10 Mayo, 2016, 03:20 pm
Respuesta #7

sedeort

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Bien, manco.
Tu resultado es justo el que me salía a mí con mi integral.

El resultado numerico que puse antes, y que difiere al obtenido por integración, era suponiendo que la solución debía coincidir con la distancia al centro del cuadrado del punto medio de un semilado. Errónea suposición, pues. Mis dudas eran fundadas, jeje.

Otra posible simplificación del problema era suponer que la solución fuera la media de las distancias del centro de un lado y de un vértice al centro del cuadrado. Creo que sí coincide con valor obtenido por integración por elmanco y por mí.

Falta comprobar si la fórmula de delmar y samir obtienen el mismo resultado.

10 Mayo, 2016, 06:59 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Bien, manco.
Tu resultado es justo el que me salía a mí con mi integral.

El resultado numerico que puse antes, y que difiere al obtenido por integración, era suponiendo que la solución debía coincidir con la distancia al centro del cuadrado del punto medio de un semilado. Errónea suposición, pues. Mis dudas eran fundadas, jeje.

Otra posible simplificación del problema era suponer que la solución fuera la media de las distancias del centro de un lado y de un vértice al centro del cuadrado. También es ligeramente diferente al valor obtenido por integración por elmanco y por mí.

Falta comprobar si la fórmula de delmar y samir obtienen el mismo resultado.

Pero si no me equivoco la fórmula de delmar y Samir son la misma, sólo que Samir sólo está escribiendo el numerador (le falta dividir por el tiempo total \( b-a \)).

Saludos.

10 Mayo, 2016, 07:17 pm
Respuesta #9

sedeort

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Acabo de hacer los cálculos con la fórmula de delmar y me sale:
Rm = (1 + sqr(2)) / 16

Igual que nuestra solución integral, manco y sedeort. Curiosamente coincide con la simplificación de la media de las distancias extremas para un semilado.

( Lo que no entiendo de tu fórmula, manco, es el término que aparece entre dobles barras. Lo siento, no soy matemático y no reconozco esa notación)