Autor Tema: Demostrar que la rotación es composición de simetrías axiales

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08 Mayo, 2016, 01:25 am
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cibernarco

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1) Sea ABC un triángulo equilátero e I su centro de gravedad.Demuestre que la rotación  \( R_{(I,-\displaystyle\frac{2 \pi}{3})} \) es la composición de dos simetrias axiales con respecto a las alturas del triángulo.

Hola chicos me dieron este ejercicio, lo que me genera dudas es el tema de la rotacion, si yo compongo dos simetrias axiales, ¿a qué deberia llegar? ¿ Cómo es la forma de una rotación?

08 Mayo, 2016, 10:02 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

1) Sea ABC un triángulo equilátero e I su centro de gravedad.Demuestre que la rotación  \( R_{(I,-\displaystyle\frac{2 \pi}{3})} \) es la composición de dos simetrias axiales con respecto a las alturas del triángulo.

Hola chicos me dieron este ejercicio, lo que me genera dudas es el tema de la rotacion, si yo compongo dos simetrias axiales, ¿a qué deberia llegar? ¿ Cómo es la forma de una rotación?

La fórmula de una rotación de centro \( z_0 \) y ángulo \( \alpha \) es:

\( R_{z_0,\alpha}(z)=z_0+(z-z_0)e^{i\alpha} \)

La fórmula general de una simetría axial respecto a una recta que pasa por \( z_0 \) con un ángulo \( \theta \) es:

\( S_{z_0,\theta}(z)=z_0+(\bar z-\color{red} \bar z_0\color{black})e^{2i\theta} \)

Con esto puedes comprobar que, en genera, la composición de dos simetrías axiales es un giro de ángulo el doble del que forman los ejes de simetría.

Saludos.

CORREGIDO 2 veces (así que estaba bien al principio)

08 Mayo, 2016, 03:06 pm
Respuesta #2

cibernarco

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pude entender las formulas, no entendi cuando dices con un angulo el doble del que forman los ejes de simetría. Con esto te refieres a que la forma general de la axial esta el angulo multiplicado por 2? o por otra cosa? y a que te refieres con ejes de simetria?

Por otro lado intentado componer supongamos dos simetrias axiales \( S_{z_0,\theta}(z)=z_0+(\bar z-\bar z_0)e^{2i\theta} \) y la otra
\( S_{z_1,\theta}(z)=z_1+(\bar z-\bar z_1)e^{2i\theta} \)

entonces componiendo me quedaria : \( z_0+(\overline{(z_1+(\bar z-\bar z_1)e^{2i\theta})} -\bar z_0)e^{2i\theta} \)

de ahi \( z_0+((\overline{z_1}+ z -z_1).e^{2i\theta}- z_0). e^{2i\theta} \)

voy bien haciendo eso?

09 Mayo, 2016, 12:24 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

pude entender las formulas, no entendi cuando dices con un angulo el doble del que forman los ejes de simetría. Con esto te refieres a que la forma general de la axial esta el angulo multiplicado por 2? o por otra cosa? y a que te refieres con ejes de simetria?

Me sorprende que estemos hablando de simetrías axiales y no sepas que es el eje de simetría. Es la recta respecto a la cuál se construye la simetría.

Me refiero a que cuando componemos las dos simetrías resulta un giro cuyo ángulo es el doble del ángulo que formaban los dos ejes de simetría de las simetrías que hemos compuesto.

Citar
Por otro lado intentado componer supongamos dos simetrias axiales \( S_{z_0,\theta}(z)=z_0+(\bar z-\bar z_0)e^{2i\theta} \) y la otra
\( S_{z_1,\theta}(z)=z_1+(\bar z-\bar z_1)e^{2i\theta} \)

entonces componiendo me quedaria : \( z_0+(\overline{(z_1+(\bar z-\bar z_1)e^{2i\theta})} -\bar z_0)e^{2i\theta} \)

de ahi \( z_0+((\overline{z_1}+ z -z_1).e^{2i\theta}- z_0). e^{2i\theta} \)

voy bien haciendo eso?

Tienes dos errores.

1) Te has olvidado aplicar a la exponencial el conjugado. Te quedaría:

\( z_0+((\overline{z_1}+ z -z_1).e^{-2i\theta}- z_0). e^{2i\theta} \)

2) Pero tienes otro previo el ángulo \( \theta \) de las dos simetrías no es el mismo; tienes que usar \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \).

Saludos.

09 Mayo, 2016, 02:18 pm
Respuesta #4

cibernarco

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\( z_0+((\overline{z_1}+ z -z_1).e^{-2i\theta_1}- z_0). e^{2i\theta_2} \)

entonces me quedaria asi: una vez llegado a esto ¿hace falta resolver las distributivas?

o suponer que \( \overline{z_1}+ z -z_1).e^{-2i\theta_1} \) puede ser un \( z \) ya llego a las formula \( R_{z_0,\alpha}(z)=z_0+(z-z_0)e^{i\alpha} \)

09 Mayo, 2016, 04:49 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

\( z_0+((\overline{z_1}+ z -z_1).e^{-2i\theta_1}- z_0). e^{2i\theta_2} \)

entonces me quedaria asi: una vez llegado a esto ¿hace falta resolver las distributivas?

o suponer que \( \overline{z_1}+ z -z_1).e^{-2i\theta_1} \) puede ser un \( z \) ya llego a las formula \( R_{z_0,\alpha}(z)=z_0+(z-z_0)e^{i\alpha} \)

Si, tienes que seguir operando.

Olvidé comentarte un detalle que te simplificará las cuentas. Sin pérdida de generalidad, puedes suponer que \( z_1=z_0 \) entendiendo que ese es el punto común de los ejes de simetría.

Saludos.

09 Mayo, 2016, 05:18 pm
Respuesta #6

cibernarco

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intente resolver y acercarme lo que mas pueda a la formula general, pero llegue a esto:

\( z_0 + (\overline{z_0}.e^{-2i\theta_1} - z_0 . e^{-2i\theta_1} - z_0) . e^{2i\theta_2} + z . e^{-2i\theta_1+2i\theta_2}  \)

Me parece bastante raro como me esta quedando.

09 Mayo, 2016, 07:29 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

intente resolver y acercarme lo que mas pueda a la formula general, pero llegue a esto:

\( z_0 + (\overline{z_0}.e^{-2i\theta_1} - z_0 . e^{-2i\theta_1} - z_0) . e^{2i\theta_2} + z . e^{-2i\theta_1+2i\theta_2}  \)

Me parece bastante raro como me esta quedando.

Tienes que tener algún error por ahí. Es:

\( (S_{z_0,\theta_2}\circ S_{z_0,\theta_1})(z)=z_0+(\overline{S_{z_0,\theta_1}}-\bar z_0)e^{2i \theta_2}=\\
=z_0+(\overline{z_0+(\bar z-\bar z_0)e^{2i\theta_1}}-\bar z_0)e^{2i \theta_2}=
z_0+(\bar z_0+(\bar z-\bar z_0)e^{-2i\theta_1}-\bar z_0)e^{2i\theta_2})=\\=
z_0+(\bar z-\bar z_0)e^{-2i\theta_1}e^{2i\theta_2}=z_0+(\bar z-\bar z_0)e^{2i(\theta_2-\theta_1)} \)

Saludos.