Autor Tema: Número irracional

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25 Abril, 2016, 02:03 am
Respuesta #20

Juan Pablo Sancho

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Mi respuesta era por:



...en el momento que existe un período, sea el que sea de la longitud que sea, existe un algoritmo definido para calcular la expresión en forma de fracción.


Editado

Mi planteamiento era:

Si \(  q = m.\overline{a_1,a_2, \cdots , a_n}  \) entonces \(  q = \dfrac{p}{t}  \)

Por el contrarreciproco:

Si \(  q \notin \mathbb{Q}  \) entonces \(  q \neq m.\overline{a_1,a_2, \cdots , a_n}  \)

25 Abril, 2016, 03:17 am
Respuesta #21

Gaussito

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Amigo Juan, el hecho de que:


Si \(  q \notin \mathbb{Q}  \) entonces \(  q \neq m.\overline{a_1,a_2, \cdots , a_n}  \)


No prueba que:

Si \(  q \neq m.\overline{a_1,a_2, \cdots , a_n}  \) entonces \(  q \notin \mathbb{Q}  \)

Por otro lado, con respecto a mi última demostración, donde se prueba que la cadena #,#99999999.... es imposible representarla mediante la división de dos enteros, la resuelven fácilmente diciendo que 0,999999..... = 1 . Sin embargo, pienso que eso no le quita validez a mi demostración, ni tampoco desmonta mi corolario que dice:


Corolario 2. "Los números decimales con período 9, no pueden ser expresados como la división de dos enteros"


Además, podríamos generalizar esto y decir que existen infinitos números decimales que se pueden escribir de dos formas diferentes, por ejemplo: 3,25 = 3,2499999999..... , aunque ese número en su forma 3,25 puede ser expresado como la división de dos enteros, mientras que en su otra forma 3,24999999.... no puede serlo. Creo que esto finaliza la discusión, cualquier observación en mis razonamientos, háganmelo saber.

Saludos.

25 Abril, 2016, 10:13 am
Respuesta #22

feriva

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Quisiera seguir deduciendo corolarios de la explicación que ofreció Ivorra, y así desmontar un argumento que hemos estado tomando como cierto a pesar de que es falso. El argumento que quiero desmentir es el siguiente:

"...en el momento que existe un período, sea el que sea de la longitud que sea, existe un algoritmo definido para calcular la expresión en forma de fracción"



Eso puede “acabar” en una discusión interminable, tanto como los números irracionales. La razón es que hay cosas que no se demuestran, sino que dependen de las definiciones que tomemos. ¿Cómo definimos periodo, cómo tiene que ser para que le llamamos así? Evidentemente, lo que entiende la mayoría de la gente (quizá algunos tengan una definición más personal) es que todo periodo empieza y acaba; pero claro, dentro de un podría haber trozos que también podríamos considerar periodos o subperiodos Un número “aabbaabb...” se puede hacer partes iguales de tal forma que lo podemos entender así “aa bb  aa bb” o así “aabb aabb...” y de infinitas formas, porque ahí lo que usamos es una cantidad dada por un primo (en este caso uso el primo 2) y los múltiplos que podemos formar con él agrupando. Si la cantidad de cifras del número es impar, no podré hacer grupos que sean múltiplos de 2, si no viene dada por un múltiplo de 53, por ejemplo, el periodo no podrá tener subperiodos de menos de 53 cifras, porque la cantidad viene dada por un primo.


En fin. Alguien puede considerar que cualquier número de infinitas cifras es irracional porque es un gran periodo que no acaba nunca, aparte de los subperiodos que contenga, pero sucede que no hay una “frontera” entre lo infinito y lo finito, esa barrera no está en ningún sitio concreto, con lo que las discusiones sobre estas cosas tampoco acaban nunca.

El argumento de elcristo, según lo que entiendo yo por periodo, algo que acaba, no es falso, como mucho puede necesitar alguna matización; ocurre con frecuencia que nos ponemos a discutir de cosas sin ponernos antes de acuerdo en unas definiciones, y luego... pasa lo que pasa.

Un saludo.


25 Abril, 2016, 11:56 am
Respuesta #23

Carlos Ivorra

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Por otro lado, con respecto a mi última demostración, donde se prueba que la cadena #,#99999999.... es imposible representarla mediante la división de dos enteros, la resuelven fácilmente diciendo que 0,999999..... = 1 . Sin embargo, pienso que eso no le quita validez a mi demostración, ni tampoco desmonta mi corolario que dice:


Corolario 2. "Los números decimales con período 9, no pueden ser expresados como la división de dos enteros"


Además, podríamos generalizar esto y decir que existen infinitos números decimales que se pueden escribir de dos formas diferentes, por ejemplo: 3,25 = 3,2499999999..... , aunque ese número en su forma 3,25 puede ser expresado como la división de dos enteros, mientras que en su otra forma 3,24999999.... no puede serlo. Creo que esto finaliza la discusión, cualquier observación en mis razonamientos, háganmelo saber.

Hay una contradicción sutil en lo que dices. Por una parte, reconoces que \( 3{.}25 = 3{.}2499999999..... \) son dos representaciones del mismo número (y así es), pero por otra parte dices que \( 3{.}25 \) puede expresarse como cociente de dos enteros, mientras que \( 3{.}2499999999..... \) no puede. Y eso es absurdo. Es como si dices que Cervantes escribió el Quijote, pero que El Manco de Lepanto no lo hizo. Si tienes claro que Cervantes es el mismo que El Manco de Lepanto, no puedes decir que uno escribió el Quijote y el otro no. Lo que vale para uno, vale necesariamente para el otro, porque son el mismo.

En concreto, no es cierto que \( 3{.}2499999999..... \) no pueda expresarse como cociente de dos enteros. Sencillamente:

\( 3{.}2499999999... = \dfrac{13}4 \).

Lo que tú pruebas (y es correcto) es que al aplicar el algoritmo de la división a \( 13/4 \), o a cualquier otro número racional, no te va a salir nunca un periodo de nueves, pero eso significa que cuando un número racional admite dos desarrollos decimales, el algoritmo de la división siempre te presenta el finito, y nunca el infinito. Pero no puedes traducir una afirmación del tipo "este desarrollo decimal no va a salir al dividir dos enteros" en una del tipo "este número decimal no es cociente de dos enteros", porque sí que lo es. Es un cociente de dos enteros que, al dividir, te dan el otro desarrollo decimal de ese mismo número.

25 Abril, 2016, 01:56 pm
Respuesta #24

Luis Fuentes

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Hola

Aunque sé que el tema ya está agotado, me gustaría saber si existe alguna forma de calcular el número de cifras que tiene el período, dada la división de dos enteros a y b. Sé que la calculadora de wolframgalpha.com, da el número de cifras que tiene el período, pero no sé si lo calculan mediante una fórmula matemática o a través de un algoritmo de programación.

Fíjate que si un número racional \( r=a/b \) (con \( a,b \) coprimos) tiene un período de longitud \( k \) se cumple que:

\( 10^m(10^kr-r)=c \)

para ciertos enteros \( c,m \). La idea es que \( 10^kr-r \) tiene un número finito de cifras decimales. Entonces:

\( r=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{10^m(10^k-1)} \)

ahora si escribimos \( b=2^d5^fb_1 \) con \( b_1 \) coprimo con \( 10 \) se deduce que \( 10^k-1 \) es múltiplo de \( b_1 \).

Resumiendo si el denominador de la fracción reducida es \( b=2^d5^fb_1 \) con \( b_1 \) coprimo con \( 10 \), el período es el menor entero \( k \) tal que \( 10^k\equiv 1 \) mod \( b_1 \).

Del Teorema de Euler , se deduce que ese período es un divisor de la función de Euler \( \varphi(b_1) \).

Saludos.

26 Abril, 2016, 07:54 pm
Respuesta #25

Gaussito

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Ivorra, entiendo tu planteamiento y me suscribo a el completamente. Además me gustaría hacer la observación de un fenómeno contrario a lo que sucede con la división de dos enteros, pasa cuando sumamos (con el algoritmo de la suma) dos números con período cuyo resultado es un entero, la cual siempre dará un número decimal de la forma #,9999999. Por ejemplo, sumemos \( \displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{2}{3} \), cuyo resultado evidentemente es 1. Sin embargo, al sumarlos en su forma decimal sería algo así:

0,333333333..... + 0,666666666.... = 0,999999999999

(Que gracias a la explicación de Ivorra, no lo interpretaré de la forma "la suma de dos números con período jamás dará un número entero)

Este resultado se puede generalizar así: la suma de cualesquieras números con períodos cuyo resultado sea un entero, siempre (al aplicar el algoritmo de la suma) nos dará un número de la forma #,999999999....

26 Abril, 2016, 08:29 pm
Respuesta #26

Gaussito

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Por otro lado en cuanto al comentario de el_manco (el cual entendí después de repasar bastante), me gustaría decir que a pesar de que es bastante útil el saber que el número de cifras que contiene el período (k), es divisor de \( \varphi(b_1) \), eso todavía no me permite calcular el período de forma precisa dada la división de dos enteros.

Yo creo que cualquier algoritmo que me permita calcular dicho período sin necesidad de realizar la división, necesariamente debe incluir el numerador de la fracción y en el estudio de el_manco nunca se hace mención del mismo. Por eso insisto con la pregunta inicial ¿Existe tal algoritmo? O es imposible calcular dicho período de manera directa.

Le he estado dando vueltas al asunto y (siguiendo la simbología usada por el_manco) creo que dada una fracción \( \displaystyle\frac{a}{b} \) el problema radica en estudiar la fracción \( \displaystyle\frac{1}{b_1} \) con \( b=2^d5^fb_1 \), debido a que al conocer el período de esta fracción, facilmente mediante propiedades se puede deducir el resto de los períodos. He estado haciendo varias conjeturas relacionadas con el período (basándome en la exposición de el_manco), estas son:

1. El número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{a}{b} \) es igual al número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{b-a}{b} \)
2. El número máximo de cifras del período que se puede obtener con un denominador b, es igual al número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{1}{b} \)
3. Si n es coprimo de \( b_1 \), el número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{n}{b_1} \) es igual al número de cifras del período de \( \displaystyle\frac{1}{b_1} \)

Espero seguir trabajando en este hilo hasta encontrar dicho algoritmo, o demostrar su inexistencia, aunque como entenderán abandonaré este hilo de discusión por un buen tiempo hasta reportar avances, o quizas lo más recomendado sea abrir otro tema para estudiar esto, puesto que dicho estudio se sale del título inicial de este hilo.

Además, producto de este problema he desarrollado un nuevo algoritmo para calcular la división de dos enteros, el cual pretendo presentar en otro hilo, apenas lo tenga bien definido, el algoritmo se basa en el hecho de que al realizar la multiplicación de un número con período con su denominador, el resultado es de la forma #,99999999....., es decir, al tomar el número 0,3333333333...... y multiplicarlo por 3, el resultado es 0,999999999..... Este hecho se puede generalizar para cualquier fracción, tal que \( \displaystyle\frac{a}{b}.b \)=#,99999999..... (usando el algoritmo de la multiplicación, donde la división a sobre b, da como resultado un decimal con período)

Saludos.

27 Abril, 2016, 01:45 pm
Respuesta #27

Luis Fuentes

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Hola

Por otro lado en cuanto al comentario de el_manco (el cual entendí después de repasar bastante), me gustaría decir que a pesar de que es bastante útil el saber que el número de cifras que contiene el período (k), es divisor de \( \varphi(b_1) \), eso todavía no me permite calcular el período de forma precisa dada la división de dos enteros.

No. Te has quedado sólo con parte de lo que he expuesto. En mi anterior mensaje he esbozado la demostración del siguiente resultado.

La longitud del período de una fracción irreducible \( a/b \) con \( b=2^d5^fb_1 \) y \( mcd(b_1,10)=1 \) es el menor número natural \( k \) verificando que \( 10^k\equiv 1 \) mod \( b_1 \).

Es decir la longtiud del período es el orden multiplicativo de \( 10 \) módulo \( b_1 \). Por tanto ya tienes un algoritmo para calcular esa longitud. Ir calculando \( 10^k\mod b_1 \) y parar cuando obtengas \( 1 \).

Ahora, hay formas más óptimas y más brutas de hacer ese cálculo. Aquí por ejemplo en la página 162 se describe como hacerlo en el Algoritmo 4.79.

En general puedes buscar información en google sobre logaritmos discretos o cálculos de orden multiplicativo de un elemento.

Citar
Yo creo que cualquier algoritmo que me permita calcular dicho período sin necesidad de realizar la división, necesariamente debe incluir el numerador de la fracción y en el estudio de el_manco nunca se hace mención del mismo.

No. Bajo el supuesto de que la fracción es irreducible, es decir \( a/b \) con \( a \) y \( b \) coprimos, la longitud del período no depende de \( a \), sólo de \( b \).

Saludos.

02 Mayo, 2016, 05:11 am
Respuesta #28

Gaussito

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He estado trantando de comprender las referencias dejadas por el_manco en su último comentario, sin embargo no he logrado comprender en su totalidad los algoritmos propuestos allí. Al igual que siempre me quedo maravillado por la sabiduría de los moderadores de este foro, creo que el único defecto que tienen es haber nacido después de Euler, Gauss, Fermat, entre otros, porque de lo contrario, fuesen los creadores de muchos teoremas de la actualidad, veríamos algo como "El último teorema de Ivorra", o "El pequeño teorema de El_manco", jejejejejejejejeje.

Para finalizar he creado un pequeño programita que calcula el período de la división de \( \displaystyle\frac{1}{b} \), lo subí a una página que creé, pueden acceder desde el siguiente link: mmsrlengua.260mb.com/periodo.html

Espero sea de utilidad, se pueden calcular períodos de hasta un millón de cifras, todo depende de la velocidad de la computadora que se utilice, además describí varios métodos para calcular dichos períodos. Los métodos fueron creados en base a los comentarios de Ivorra, El_manco y un método personal. No soy muy bueno programando, imagino que hay métodos más eficientes de hacer dichos cálculos, sin embargo (modestia aparte), los resultados obtenidos con el programa son más rápidos y completos que los obtenidos con la calculadora de wolfram.

Saludos.



02 Mayo, 2016, 12:23 pm
Respuesta #29

Luis Fuentes

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Hola

He estado trantando de comprender las referencias dejadas por el_manco en su último comentario, sin embargo no he logrado comprender en su totalidad los algoritmos propuestos allí. Al igual que siempre me quedo maravillado por la sabiduría de los moderadores de este foro, creo que el único defecto que tienen es haber nacido después de Euler, Gauss, Fermat, entre otros, porque de lo contrario, fuesen los creadores de muchos teoremas de la actualidad, veríamos algo como "El último teorema de Ivorra", o "El pequeño teorema de El_manco", jejejejejejejejeje.

Para finalizar he creado un pequeño programita que calcula el período de la división de \( \displaystyle\frac{1}{b} \), lo subí a una página que creé, pueden acceder desde el siguiente link: mmsrlengua.260mb.com/periodo.html

Espero sea de utilidad, se pueden calcular períodos de hasta un millón de cifras, todo depende de la velocidad de la computadora que se utilice, además describí varios métodos para calcular dichos períodos. Los métodos fueron creados en base a los comentarios de Ivorra, El_manco y un método personal. No soy muy bueno programando, imagino que hay métodos más eficientes de hacer dichos cálculos, sin embargo (modestia aparte), los resultados obtenidos con el programa son más rápidos y completos que los obtenidos con la calculadora de wolfram.

Saludos.

Bien, es digno de admirar tu trabajo.

Ahora bien, si de lo que se trata de, exclusivamente hallar la longitud del período, el método más rápido (implementado de manera óptima) es el segundo; entiendo que en el tercero esencialmente estás hallando el periódo (divides hasta que se repita el resto). Cuando dices que falla (en la página que has enlazado) entiendo que te refieres a que falla la implementación que tu has hecho; si te refieres al método (teórico) indica para que valores de \( b \) has encontrado fallos.

Saludos.