Autor Tema: Integrabilidad Riemann-Lebesgue

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11 Abril, 2016, 15:40
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geoman

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Me piden probar que la función \[ \frac{x^{t}-1}{log(x)}  \] es int.Riemann y Lebesgue en \[ (0,1) \] con \[ t\in (-1,0) \]

Mis ideas:

La función no cambia de signo en \[ (0,1) \] para cualquiera \[ p\in (-1,0) \]

El límite de \[ x\rightarrow{1^{-}}=p \]

El limite de\[  x\rightarrow{0^{+}}=\infty \]

Si vemos que es int Riemann en sentido impropio concluimos el enunciado, ahora bien he intentado utilizar teoremas como derivación bajo el signo integral pero no se verifican las hipótesis, ¿soluciones?

12 Abril, 2016, 05:57
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Me piden probar que la función \[ \frac{x^{t}-1}{log(x)}  \] es int.Riemann y Lebesgue en \[ (0,1) \] con \[ t\in (-1,0) \]

Mis ideas:

La función no cambia de signo en \[ (0,1) \] para cualquiera \[ \color{red}p\color{black}\in (-1,0) \]

El límite de \[ x\rightarrow{1^{-}}=\color{red}p\color{black} \]

Supongo que ahí donde has puesto \[ p \] querías poner \[ t \]. La consecuencia de eso es que la integral "no da problemas" en \[ 1 \], porque la función puede extenderse con continuidad a ese punto.

Citar
El limite de\[  x\rightarrow{0^{+}}=\infty \]

Si vemos que es int Riemann en sentido impropio concluimos el enunciado, ahora bien he intentado utilizar teoremas como derivación bajo el signo integral pero no se verifican las hipótesis, ¿soluciones?

Tienes que:

\[ \left|\dfrac{x^t-1}{log(x)}\right|=\left|\dfrac{1-x^{-t}}{x^{-t}log(x)}\right|\leq \dfrac{1}{x^{-t}|log(x)|} \]

Si \[ x<1/3 \]:

\[ \dfrac{1}{x^{-t}|log(x)|}<x^t \]

y la integral \[ \displaystyle\int_{0}^{1/3}x^t \] con \[ t\in (-1,0) \] es convergente.

Saludos.

12 Abril, 2016, 14:38
Respuesta #2

geoman

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Como pruebas la ultima desigualdad para x<1/3

13 Abril, 2016, 04:47
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Como pruebas la ultima desigualdad para x<1/3

Tenemos:

\[ x<1/3\quad \Rightarrow{}\quad x<1/e \quad \Rightarrow{}\quad log(x)<-1\quad \Rightarrow{}\quad -log(x)>1\quad \Rightarrow{}\quad |log(x)|>1\quad \Rightarrow{}\quad\dfrac{1}{|log(x)|}<1 \]

Saludos.