Autor Tema: Sobre funciones integrables

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09 Abril, 2016, 05:43 pm
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Von Damian

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Hola buenas tardes, me ha surgido una duda practicando con algunos problemas:
Dada\(  f \in L^{+} \) , definimos \(  \lambda (E) = \int_{E}f d\mu  \) para los conjuntos E medibles, piden demostrar que \( \lambda \) es medida y que dada \(  g \in L^{+} \) se verifica que \(  \int_{X}gd\lambda=\int_{X}fgd\mu \). He probado el ejercicio, pero ahora mi pregunta es: ¿cuales serían las funciones \(  g:X\longmapsto[-\infty,\infty]  \) integrables respecto la medida anteriormente definida?


10 Abril, 2016, 04:25 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola buenas tardes, me ha surgido una duda practicando con algunos problemas:
Dada\(  f \in L^{+} \) , definimos \(  \lambda (E) = \int_{E}f d\mu  \) para los conjuntos E medibles, piden demostrar que \( \lambda \) es medida y que dada \(  g \in L^{+} \) se verifica que \(  \int_{X}gd\lambda=\int_{X}fgd\mu \). He probado el ejercicio, pero ahora mi pregunta es: ¿cuales serían las funciones \(  g:X\longmapsto[-\infty,\infty]  \) integrables respecto la medida anteriormente definida?

Fíjate que el álgebra de medibles es la misma y lo que cambia es la medida.

Por tanto las funciones medibles son las mismas.

Lo que marca la diferencia en cuanto a integrabilidad es si la parte positiva o negativa de la integral tiene integral finita.

Por tanto las funciones integrables con la nueva medida son aquellas medibles (con la vieja) que cumplen que:

\( \displaystyle\int_{X}fg^+d\mu \) ó \( \displaystyle\int_{X}fg^-d\mu \)

son finitas.

Saludos.

10 Abril, 2016, 04:44 pm
Respuesta #2

Von Damian

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Llegué hasta ese punto pero no supe si con decir eso era suficiente, quiero decir, no sabía si podía establecer alguna relación más profunda entorno a la finitud de las integrales que has puesto anteriormente mediante algún resultado.

10 Abril, 2016, 08:07 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Llegué hasta ese punto pero no supe si con decir eso era suficiente, quiero decir, no sabía si podía establecer alguna relación más profunda entorno a la finitud de las integrales que has puesto anteriormente mediante algún resultado.

No creo que pueda afirmarse mucho más. Lo anterior puede resumirse diciendo que una función \( g \) es integrable con la nueva medida si \( fg \) es integrable con la antigua.

Saludos.

10 Abril, 2016, 10:28 pm
Respuesta #4

Von Damian

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Muchas gracias por tu tiempo el_manco.