Autor Tema: Comparación de Medidas

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22 Marzo, 2016, 09:16
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Julio_fmat

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Muestre que si \[ A\subset B \], entonces \[ m^{*}(A)\le m^{*}(B). \]

Spoiler
Hola, debo demostrar esta propiedad. No lo he especificado, pero con la notación \[ m^{*} \] me refiero a \[ m^{*}(I)=\ell (I). \] En donde \[ I \] es un intervalo (acotado o no acotado).
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22 Marzo, 2016, 15:33
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Pasa del spoiler no está bien.
Spoiler
Toma:

\[  C = B \setminus A  \]

\[  m^*(B) = m^*(C \cup A) = m^*(C) + m^*(A)  \]
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22 Marzo, 2016, 17:17
Respuesta #2

Tanius

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¿Qué es \[ m^* \]? Dudo que sea cualquier medida exterior, ya que inmediatamente (por definición) cumple la regla que has escrito. Si se trata de la medida de Lebesgue igual es casi inmediato: sólo ten en cuenta que si una colección de conjuntos cubre a \[ B \] (es decir, su unión contiene a \[ B \]) entonces también cubre a \[ A \] (porque \[ A\subseteq B \]). Luego aplica la definición de medida exterior de Lebesgue.

23 Marzo, 2016, 20:18
Respuesta #3

Julio_fmat

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¿Qué es \[ m^* \]? Dudo que sea cualquier medida exterior, ya que inmediatamente (por definición) cumple la regla que has escrito. Si se trata de la medida de Lebesgue igual es casi inmediato: sólo ten en cuenta que si una colección de conjuntos cubre a \[ B \] (es decir, su unión contiene a \[ B \]) entonces también cubre a \[ A \] (porque \[ A\subseteq B \]). Luego aplica la definición de medida exterior de Lebesgue.

Hola Tanius, gracias por ayudar.

Con la notación \[ m^{*} \] efectivamente me refiero a la medida exterior. Estoy buscando una manera sencilla de resolverlo que no involucre tantos cambios de variable, ahí les digo que tal.
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