Autor Tema: Propiedad de Álgebras

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09 Marzo, 2016, 11:52 pm
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Julio_fmat

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Sea \( \mathcal{A} \) un álgebra en \( X \). Demostrar que \( \varnothing, X\in \mathcal{A}. \)

Spoiler
Hola. Una pregunta, puede servirme hacerlo por reducción al absurdo? Es lo único que se me ocurre para este caso... Bueno, si \( \varnothing, X\notin \mathcal{A} \), entonces deberían estar en el complemento del álgebra, luego, \( X\in \mathcal{A}^c. \) Como \( \mathcal{A}\in X \), se tiene que esto es una contradicción, porque \( \mathcal{A}\subset X. \) Así, necesariamente, \( X\in \mathcal{A}. \) Se puede hacer una analogía para \( \varnothing \in \mathcal{A}. \)
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"Haz de las Matemáticas tu pasión".

10 Marzo, 2016, 02:44 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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¿Puedes poner la definición de álgebra?

La que tengo yo pone:

Un álgebra \(  \mathcal{A}  \)  sobre un conjunto \(  \mathcal{X}  \) es una clase de subconjunto de \(  \mathcal{X}  \) que cumple:

1. \(  \mathcal{X} \in \mathcal{A}  \)

2. Si \(  A,B  \) están en \( \mathcal{A}  \) entonces \(  A \cup B \in \mathcal{A}  \)

3. Si \(  A \in \mathcal{A}  \) entonces \(  A^c = \mathcal{X} \setminus A \in \mathcal{A}  \).


En este caso \(  \mathcal{X} \setminus \mathcal{X} \in \mathcal{A}  \)

10 Marzo, 2016, 05:35 am
Respuesta #2

Julio_fmat

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¿Puedes poner la definición de álgebra?

La que tengo yo pone:

Un álgebra \(  \mathcal{A}  \)  sobre un conjunto \(  \mathcal{X}  \) es una clase de subconjunto de \(  \mathcal{X}  \) que cumple:

1. \(  \mathcal{X} \in \mathcal{A}  \)

2. Si \(  A,B  \) están en \( \mathcal{A}  \) entonces \(  A \cup B \in \mathcal{A}  \)

3. Si \(  A \in \mathcal{A}  \) entonces \(  A^c = \mathcal{X} \setminus A \in \mathcal{A}  \).


En este caso \(  \mathcal{X} \setminus \mathcal{X} \in \mathcal{A}  \)

Muchas Gracias Juan Pablo :aplauso:.

Mi definición es esta:

Definición: Diremos que \( \mathcal{A} \) es un álgebra en \( X \) si:

1) \( A,B\in \mathcal{A}\implies A\cup B\in \mathcal{A} \)

2) \( A\in \mathcal{A}\implies A^c\in \mathcal{A} \)

Bueno, luego de ver BIEN la definición, se me ocurrió esto...

Si \( \varnothing \notin \mathcal{A} \), entonces \( \varnothing \in \mathcal{A}^c \), pero \( \mathcal{A} \) es un álgebra por hipótesis. Luego, necesariamente \( X\in \mathcal{A}. \)

Si \( X\notin \mathcal{A} \), entonces \( X\in \mathcal{A}^c. \) Luego...  :banghead:

Lo pensaré un rato, edito si me sale algo.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

10 Marzo, 2016, 09:19 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Definición: Diremos que \( \mathcal{A} \) es un álgebra en \( X \) si:
1) \( A,B\in \mathcal{A}\implies A\cup B\in \mathcal{A} \)
2) \( A\in \mathcal{A}\implies A^c\in \mathcal{A} \)
Bueno, luego de ver BIEN la definición, se me ocurrió esto...
Si \( \varnothing \notin \mathcal{A} \), entonces \( \varnothing \in \mathcal{A}^c \), pero \( \mathcal{A} \) es un álgebra por hipótesis. Luego, necesariamente \( X\in \mathcal{A}. \)

Eso no tiene sentido. ¿Qué es \( \mathcal{A}^c \)? La demostración que te piden es así de sencilla: si \( A\in \mathcal{A} \), entonces \( A^c\in \mathcal{A} \) por 2), pero \( X=A\cup A^c\in\mathcal{A} \) por 1). Por otra parte \( \emptyset=X^c\in \mathcal{A} \) por 2).