Autor Tema: Comentarios, dudas, tareas del minicurso Integral de Riemann

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08 Marzo, 2014, 02:22 pm
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hector

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Por aquí puedes colocar dudas, comentarios y resolución de ejercicios del minicurso Integral de Riemann, Saludos..

Tarea 1. (Activa tu ingenio):
i) Enunciar la propiedad de comparación para ínfimo.
ii) Terminar la demostración del Lema 1
iii) Demostrar el Lema 2
iv) Terminar la demostración de corolario del Lema 1
v) Probar la inclusión del corolario

Citar
Evidentemente \[ C\subset{A+B} \] (¿Por qué?)

Ánimo, eres y serás excelente.

18 Marzo, 2014, 01:24 pm
Respuesta #1

Kindred

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Cuelgo aquí las soluciones que propongo para los diferentes apartados y también mis respectivas dudas para algunos de ellos;

i) Enunciar la propiedad de comparación para ínfimo

Spoiler
Dados dos subconjuntos \[ A\neq{\emptyset} \] y \[ B\neq{\emptyset} \] pertenecientes ambos a \[ \mathbb{R} \] tales que \[ A\subset{B} \]

Si \[ B \] está acotado inferiormente, entonces \[ A \] lo está y además se cumple que \[ inf(A)\geq{inf(B)} \]
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ii) Terminar la demostración del Lema 1

Demostración de \[ inf(A + B)= inf(A) + inf(B) \]

Spoiler
puesto que \[ A \] y \[ B \] están acotados consideremos  \[ inf(A)=a \] y \[ inf(B)=b \], por definición \[ \forall{x}\in{A}\Rightarrow{x\geq{a}} \wedge \forall{y}\in{B}\Rightarrow{y\geq{b}} \] luego \[ x+y\geq{a+b} \] y por tanto \[ a+b \] por definición es cota inferior de \[ x+y\in{A+B} \]

ahora veamos que tal cota inferior es la máxima

dado \[ e>0, \exists{x_0}\in{A}\wedge\exists{y_0}\in{B}| a+ e/2 > x_0 \wedge b + e/2>y_0 \] lo que implica que \[ a+b+e>x_0 + y_0 \] y por lo tanto, por definición, \[ a+b \] es cota inferior máxima de \[ A+B \], i.e., \[ inf(A+B)=inf(A)+inf(B) \]
[cerrar]

Demostración \[ sup(c\cdot{A})=c\cdot{sup(A)} \] si \[ c\geq{0}, c\in{\mathbb{R}} \]

Spoiler
Teniendo en cuenta que \[ sup(A)=a | a\geq{x}, x\in{A} \] tenemos que siendo \[ c\cdot{a}= c\cdot{sup(A)} \] y \[ x\cdot{c}\in{c\cdot{A}} \] y  \[ a\cdot{c}\geq{x\cdot{c}} \] entonces \[ a\cdot{c}=sup(c\cdot{A})=c\cdot{sup(A)} \]
[cerrar]

Demostración \[ inf(c\cdot{A})=c\cdot{inf(A)}, c\in{\mathbb{R}} | c\geq{0}  \]

Spoiler
Teniendo en cuenta que \[ inf(A)=a  | a\leq{x}, x\in{A} \] tenemos que siendo \[ c\cdot{a}=c\cdot{inf(A)} \] y \[ c\cdot{x}\in{c\cdot{A}} \] y que \[ a\cdot{c}\leq{x\cdot{c}}\Rightarrow{a\cdot{c}=inf(c\cdot{A})=c\cdot{inf(A)}} \]
[cerrar]

Demostración \[ sup(c\cdot{A)}=c\cdot{inf(A)}, c\in{\mathbb{R}} |  c<0 \]

Spoiler
teniendo que \[ a=inf(A)\Rightarrow{a\leq{x}, x\in{A}} \] por tanto \[ a\cdot{c}\geq{x\cdot{c}}, x\cdot{c}\in{c\cdot{A}}  \] y entonces \[ a\cdot{c}= sup(c\cdot{A)} \] y \[ a\cdot{c}= c\cdot{inf(A)} \]
[cerrar]

Demostración \[ inf(c\cdot{A})=c\cdot{sup(A)}, c\in{\mathbb{R}, c<0} \]

Spoiler
teniendo que \[ a=sup(A)\Rightarrow{a\cdot{c}=c\cdot{sup(A)}} \] por tanto si \[ a\geq{x}, x\in{A}\Rightarrow{c\cdot{a}\leq{x\cdot{c}}} \] y tenemos que al ser \[ x\cdot{c}\in{c\cdot{A}}\Rightarrow{a\cdot{c}}=sup(c\cdot{A)}\wedge a\cdot{c}=c\cdot{inf(c\cdot{A})} \]
[cerrar]


iii) Demostrar el Lema 2


Demostración \[ sup(A)\leq{inf(B)} \] Sean \[ A,B\subset{\mathbb R} \] tales que, para todo \[ x\in A \] e \[ y\in B \], se tiene \[ x\leq{y} \].

Spoiler
Tenemos que \[ sup(A)=a\geq{x}\wedge Inf(B)=b\leq{y} \], considerando \[ sup(A)= min[a\in{A'}: a\geq{x}]\wedge Inf(B)=max[b\in{B'}:b\leq{x}] \] entonces \[ a\leq{b}\Rightarrow{sup(A)\leq{sup(B)}} \]
[cerrar]

Demostración \[ \sup(a)=\inf(B) \] si, y sólo si \[ \forall \epsilon>0 \], existen \[ x\in A \] e \[ y\in B \] tales que \[ y-x<\epsilon \]

Spoiler
\[ sup(A)=a\geq{x}\in{A}\wedge inf(B)=b\leq{y}\in{B} \] entonces \[ a=b\Rightarrow{x\leq{y}} \] y teniendo un \[ \epsilon>0 \] tenemos que si \[ 0\leq{y-x} \] y \[ \epsilon>0 \] entonces \[ 0\leq{y-x}<\epsilon \]
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iv) Terminar la demostración de corolario del Lema 1

En este no entiendo porque \[ sup(f+g)\leq{sup(f)+sup(g)} \]


v) Probar la inclusión del corolario


Citar
En efecto, sean \[ A=f(X) \] y \[ B=f(x) \], \[ C=(f+g)(X)=\{f(x)+g(x); x\in X\} \]. Evidentemente \[ C\subset{A+B} \] (¿Por qué?)

en este enunciado me da la sensación que hay un error, ¿no tendría que ser \[ A=f(x)\wedge B=g(x) \] y \[ C=(f+g)(x) \]? ¿en caso contrario que significa que \[ A=f(X) \] y \[ B=f(x) \]? ¿que diferencia hay entre \[ f(X) \] y \[ f(x) \]?