Autor Tema: Dominio y rango de relaciones

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29 Febrero, 2016, 07:31 pm
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laucorrea

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Necesito hallar el dominio y el rango y efectuar el dibujo de las siguientes relaciones (señalar las funciones)
1.   \[  16x^2+25y^2=400  \]
2.   \[  3x^2+4y^2=2  \]
3.   \[  x^2-y^2=1  \]
 4.   \[  xy-3y-2=0  \]
5.   \[  3xy=0  \]
6.   \[  2x-y=3  \]
7.   \[  yx^2-2xy+y=4 \]
8.   \[  5x-y=2  \]

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01 Marzo, 2016, 05:31 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Necesito hallar el dominio y el rango y efectuar el dibujo de las siguientes relaciones (señalar las funciones)
1.   \[  16x^2+25y^2=400  \]
2.   \[  3x^2+4y^2=2  \]
3.   \[  x^2-y^2=1  \]
 4.   \[  xy-3y-2=0  \]
5.   \[  3xy=0  \]
6.   \[  2x-y=3  \]
7.   \[  yx^2-2xy+y=4 \]
8.   \[  5x-y=2  \]

 Debes de indicar que has intentado y que dudas concretas tienes.

 Dada una relación \[ R\subset A\times B \]:

- \[ Dominio(R)=\{a\in A|\exists b\in B,\, (a,b)\in R\} \]
- \[ Rango(R)=\{b\in B|\exists a\in A,\, (a,b)\in R\} \]

 La relación es función si \[ dominio(R)=A \] y para cada \[ a\in A \] existe un único \[ b\in B \] tal que \[ (a,b)\in R. \]

 Cabe la posibilidad de que se asuma que la relación define una función en su dominio si para cada \[ a\in dominio(R) \] existe un único \[ b\in B \] tal que \[ (a,b)\in R. \]

 Entonces, por ejemplo la primera:

 \[ R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|16x^2+25y^2=400\} \]

 La ecuación que define la relación puede escribirse (dividiendo por \[ 400 \]) cómo:

\[  \dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1 \]  (1)

 Es una elipse de centro el origen, ejes los coordenados, radio mayor horizontal \[ 5 \] y menor vertical \[ 4 \].

 \[ Dominio(R)=[-5,5] \] ya que es muy fácil ver que la ecuación \[ 1 \] tiene solución en \[ y \] si y sólo si \[ -5\leq x\leq 5 \].

Spoiler
Si despejas:

 \[ y=\pm 4\sqrt{1-\dfrac{x^2}{5^2}} \]

 y la raíz existe si y sólo si \[ 1-\dfrac{x^2}{5^2}\geq 0 \] es decir si \[ x^2\leq 25. \]
[cerrar]

 Análogamente puedes ver que \[ rango(R)=[-4,4]. \]

 No es función por que, por ejemplo para \[ x=0 \] tienes dos posibles valores de \[ y \], \[ y=4 \] e \[ y=-4 \].

 Intenta las demás y pregunta las dudas que te surjan.

Saludos.