Autor Tema: Hipercuerpos regulares en el 4-espacio euclidiano

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14 Noviembre, 2007, 06:24 pm
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argentinator

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Sabemos que en el 2-espacio euclidiano (el plano) podemos dibujar figuras regulares de n lados, para cualquier valor de n mayor o igual que 3.

Sin embargo la situación cambia en el 3-espacio euclidiano, porque solamente hay cuerpos regulares de n caras, cuando n = 4, 6, 8, 12, 20 (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro).

Así que mi pregunta es qué ocurre en el 4-espacio euclidiano. Si un hipercuerpo de n hipercaras es REGULAR, ¿qué valor debe tener n?
Es más o menos claro que n = 5 y n = 8 son valores admisibles.
¿Hay alguno más?

En el caso de cuerpos regulares del 3-espacio, existen las reglas de Euler para lados, caras y aristas. ¿Existe algo similar para dimensiones mayores, para restringir el número de hipercaras admisibles de un hipercuerpo regular?

14 Noviembre, 2007, 07:14 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Los poliedros regulares generalizan a cualquier dimensión a los "politopos regulares" (macarrónica traducción de "regular polytopes").

 Tienes aquí una lista de los que hay en todas las dimensiones:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes

 (en dimensión 4 hay 6, en dimensión superior sólo 3)

 La idea para clasificarlos es que estos cuerpos son invariante por los ciertos subgrupos cíclicos de los grupos de simetría de los distintos espacios euclídeos. Supogno que un poco de álgebra y va la cosa.

 Buscando en inglés tendrás mucha información sobre ellos. En concreto en éste artículo se hace la clasificación jugando con los grupos de simetría. Aun así es bastante técnico:

http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/27/4/363.pdf

 Este otro parece más fácil de leer:

http://www.math.ohio-state.edu/~ault/Papers/RegPolytopes.pdf

Saludos.

14 Noviembre, 2007, 08:47 pm
Respuesta #2

argentinator

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Gracias, me saqué las dudas.

Me llama la atención de que en dimensión 4 haya más politopos regulares que en dimensión 3, dado que la cantidad de politopos regulares pareciera que debe decrecer con la dimensión, intuitivamente hablando.
Pero creo que el hecho de que el número 4 sea producto de dos veces 2, mientras que el número 3 es primo, otorga (intuitivamente hablando), más ''chances algebraicas'' a la dimensión 4 que la 3, y eso le daría alguna ''pequeña ganancia'' en regularidad de polítopos.

Esa intuición algebraica debería contrastarla con las estructuras de grupos implicados en estas figuras.


16 Noviembre, 2007, 06:51 pm
Respuesta #3

argentinator

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Es interesante observar que en el plano, uno puede calcular el perímetro y el área de un círculo mediante el límite de k que tiende a infinito del polígono regular de k lados inscrito en el circulo.

La cuestión es que ese método no es aplicable en dimensiones mayores, porque no tenemos infinitos politopos aproximantes a la hiperesfera n-dimensional, si n > 2.
En dimensión 3 tenemos poliedros regulares de 4, 6, 8, 12 y 20 caras.
En dimensión 4 tenemos polítipos regulares de 5, 8, 16, 24, 120 y 600 hipercaras o celdas.
En dimensión 5 o más solamente hay 3 polítopos regulares, que generalizan a los de 4, 6, 8 caras de dimensión 3.

Con eso no puede uno aproximarse completamente al volumen de la esfera.

Pero pienso que debiera alguna manera de remediar esto.
Lo triste es que no se me ocurre cómo, ni qué estoy tratando de hacer.

Está bien que puedo aproximarme a la esfera mediante unión de cubitos chiquitos, u otros metodos de aproximación, pero no quiero eso, quiero algo que suplante el papel de los polítopos regulares.
Pero dejo esta inquietud flotando en el aire, no estoy obligando a nadie a seguirme la corriente.


16 Noviembre, 2007, 09:49 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Algo parecido se trató aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,5059.15.html

Tu mismo habías intervenido. Quizá te inspire recordarlo.

Saludos.