[Charlypi]

Buenas a todos.
Realicé el siguiente problema:

Construir un paralelogramo cualquiera, y trazar sus cuatro bisectrices interiores. Demostrar que los puntos de corte entre ellas determinan un rectángulo.

Lo resolví de la siguiente manera.

1. Construí el paralelogramo con sus lados paralelos dos a dos y de diferente longitud.
2. Tracé las bisectrices interiores.
3. Determiné el supuesto rectángulo.

Para la demostración hice lo siguiente:

1. La suma de ángulos conjugados es 180°. Por ejemplo con los ángulos A y B.
2. Como las bisectrices dividen a dichos ángulos en partes iguales resulta 90°.
3. Por teorema de ángulo exterior de un triángulo resulta que uno de los ángulos del rectángulo es igual a 90°.
4. Ídem con los otros dos ángulos. C y D.
5. Por propiedades de los paralelogramos, con un sólo ángulo de 90°, el cuadrilátero determinado por los puntos de cotre de las bisectrices es un rectángulo.

Mis preguntas:

1.¿Está bien hecha esta demostración? ¿Por qué sí?¿Por qué no?
2. ¿Cómo puedo determinar que es un rectángulo y no un cuadrado?

Muchas gracias por la aferencia.

[Luis Fuentes]

Hola

1.¿Está bien hecha esta demostración?

Si. Tan sólo echo de menos un dibujo que ayude a seguir el razoamiento.

  ¿Por qué sí?

Porque cada uno de los argumentos que usas me parece correcto y bien fundamentado. En ese sentido si uno quiere ser puntilloso al máximo analizando lo adecuado de los mismos, debería de saber exactamente en que Teoremas y Axiomas puedes basarte.

2. ¿Cómo puedo determinar que es un rectángulo y no un cuadrado?

Comprueba que:

- Si el paralelogramo es un rombo o un cuadrado, las bisectrices determinan un punto.
- Si el paralelogramo es un rectángulo, entonces  las bisectrices determinan un cuadrado.
- En otro caso, las bisectrices determinan un rectángulo.

Para ello razona que las lineas que unen los puntos medios de los lados opuestos del paralelogramo son las diagonales del rectángulo que forman las bisectrices; recuerda que un rectángulo es un cudrado si y sólo si sus diagonales son perpendiculares.

Saludos.

[Charlypi]

Muchas gracias compañero. Me voy encaminando lindo con tu respuesta y las de los demás.
Muchas gracias de nuevo.

[Michel]

Hola charlypi y el_manco.

Aunque con bastante retraso, me permito colaborar con la figura adjunta.


Moviendo los vértices libres (A, B y C), puede observarse cómo varía la solución

Saludos.