[mazuro]

Hola

¿Cómo se traza una circunferencia tangente a dos rectas (que tienen un punto en común)  y tangente a un punto interior entre las rectas?

Bueno hice la construcción geométrica en geogebra. D es el punto interior entre las dos rectas... Hice dos circunferencias tangentes, una hacia el lado "derecho" de D, y la otra hacia el lado "izquierdo"...



Espero esté bien, si es así, cómo podría empezar a demostrar "matemáticamente" ?

 

Muchas gracias, saludos.

[Michel]

Hola mazuro.

Convendría que explicaras "paso a paso" cómo has hecho la construcción partiendo de las dos rectas dadas y el punto interior al ángulo que forman.

Saludos.

[mazuro]

Hola, muchas gracias.

Se tienen dos semirrectas a y b, con un ángulo común llamado A   y un punto interior llamado D. Se debe trazar una circunferencia tangente a las dos semirrectas y al punto D.

Se traza la bisectriz c
Perpendicular a esta bisectriz que pase por D, se llama e.
Punto de intersección F
Se traza la mediatriz f entre F y G(punto de intersección perpendicular con la semirracta b)
Se traza la circunferencia g  con centro en H (intersección entre la mediatriz f y la perpendicular e)
Se traza la circunferencia h de radio FD
Las circunferencias h y g se cortan en dos puntos llamados I y J
Se traza la circunferencia k con centro en G que pase por J
La circunferencia k corta con la semirracta b (la de abajo), el punto de intersección se llama K
Se traza la perpendicular a la semirrecta b  y que pase por K
Esta perpendicular corta en la bisectriz, el punto se llama M
Se traza una circunferencia(ixquierda) tangente al punto D con centro M, y es tangente a las dos semirrectas a y b.

Y para la circunferencia "derecha" hacemos el mismo procedimiento de trazar la perpendicular por la semirrecta b que pase por L y corta a la bisectriz y desde allí se traza la circunferencia tangente al punto D y a las semirrectas.


Sí     cómo podría demostrar ? 

Muchas gracias, saludos.
 

[Michel]

Hola mazuro.

No entiendo el fundamento de tu construcción, es decir, en qué te basas para hacer lo que has hecho.

He abierto tu figura, he variado los datos moviendo el punto D y las rectas, y la cosa funciona: las circunferencias obtenidas cumplen las condiciones del enunciado, pero no soy capaz de averiguar por qué. Por tanto, la construcción creo que es correcta.

Supongo que me entiendes: ¿puedes decirme cómo se te han ocurrido esas construcciones parciales?

Para hacer estos problemas de construcciones, yo suelo empezar por Supongamos el problema resuelto (así me lo enseñaron): pinto en el papel la figura buscada y de la observación de la misma obtengo conscuencias que me permiten relacionar los datos con lo que tengo que construir.

Por esta razón te envío la figura que he obtenido yo; obsérvala y saca consecuencias. Y luego me cuentas.

En unos días te envío cómo lo ha hecho yo, con su fundamento

Espero tu respuesta a mis preguntas, así como haberte ayudado un poquito.

Saludos.

[Michel]

Supongamos el problema resuelto.

Las dos circunferencias son tangentes a las rectas r y s, que se cortan en O, y pasan por el punto A; en general, serán secantes, siendo B el otro punto de intersección.

Se sabe que el eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de aquellas; y que si son secantes, el eje radical es la recta que pasa por los puntos de intersección: es decir la recta ABM, siendo M el punto de intersección con la recta r.

Todas las circunferencias que pasen por A y B tienen el mismo eje radical, incluida la de diámetro AB.

Si trazamos por M una tangente MD a esta última, se verificará MP=MQ=MD.

Entones la solución del problema se obtendrá, partiendo de que tenemos sólo las dos rectas r y s y el punto A, construyendo sucesivamente:

1- El simétrico B de A respecto de la bisectriz del ángulo O; por B’ pasará también la circunferencia pedida.
2- La recta AB que corta a r en M.
3- La circunferencia de diámetro AB.
4- La tangente MD a esta circunferencia.
5- La semicircunferencia de centro M y radio MD, que corta a r en P y Q.
6- Las circunferencias circunscritas a los triángulos ABP y ABC son las dos soluciones del problema.

En el caso particular de que el punto dado A esté en la bisectriz de O, basta trazar la circunferencia de centro A tangente a r.

Si no está claro lo expuesto, decidlo e intentaré hacer una explicación más clara.

[mazuro]

Muchas gracias, sí entiendo, que pena la demora en responder, hasta ahora entro. Michel pienso que la cosntrucción que puse es similar a tu razonamiento.


Muchas gracias 

Saludos