[Riemann]

Buenas, tengo problemas al resolver este ejercicio:

Sea \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) continua y tal que Im \( f \subset{[0,1]} \). Probar que entonces existe algún \( x\in{[0,1]} \) tal que \( f(x)=x \).

¿Podríais darme alguna pista de cómo solucionarlo?

Un saludo.

[Fernando Revilla]

Sea \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \) continua y tal que Im \( f \subset{[0,1]} \). Probar que entonces existe algún \( x\in{[0,1]} \) tal que \( f(x)=x \). ¿Podríais darme alguna pista de cómo solucionarlo?

Si \( f(0)=0 \) o \( f(1)=1, \) ya está demostrado. Si \( f(0)\ne 0 \) y \( f(1)\ne 1, \) aplica el teorema de Bolzano a la función \( g(t)=f(t)-t \) en \( [0,1]. \)

[Riemann]

De acuerdo, muchas gracias, pero en esa función \( g(t) \) ¿cómo averiguo si adquiere dos valores de signos distintos que me permitan hacer Bolzano si no tengo la función \( f(t) \)?

[Fernando Revilla]

De acuerdo, muchas gracias, pero en esa función \( g(t) \) ¿cómo averiguo si adquiere dos valores de signos distintos que me permitan hacer Bolzano si no tengo la función \( f(t) \)?

Si \( f(0)\ne 0 \) necesariamente \( f(0)>0 \) y si \( f(1)\ne 1 \) necesariamente \( f(1)<1 \) (pues \( \text{Im}f\subset [0,1] \)). Entonces, \( g(0)=f(0)>0 \) y \( g(1)=f(1)-1<0. \)

[Riemann]

Perfecto, ahora todo claro, gracias