Bien, corrígeme si me equivoco:
El plano de toda la vida donde los ejes de abscisas y de ordenadas se extienden hacia el infinito y se cortan en el punto cero sería un plano afín.
Te corrijo: un plano de toda la vida es un plano sin ejes de abscisas ni ordenadas. Y eso es un plano afín, o incluso un plano afín euclídeo si consideras en él las relaciones de ángulo y distancia entre puntos, pero NO es un espacio vectorial. Ni tienes coordenadas, ni ejes, ni nada de eso.
Para introducir unos ejes coordenados tienes que hacer varias elecciones que dependen de ti, no del plano. Se pueden hacer todas a la vez, pero es mejor separarlas en etapas sucesivas:
1) Primero tienes que elegir un origen de coordenadas (el punto donde se cortarán los ejes que quieres trazar y todavía no has trazado).
Si en dicho plano afín eligiésemos un punto (por ejemplo...(2,1)) como centro de coordenadas e hiciésemos salir de el todas las 'rayas' o vectores a las que se referían antes (todos los posibles vectores libres del plano) y a continuación borrásemos los ejes, tendríamos un espacio vectorial cuyo vector cero es el punto (2,1).
Eso no tiene sentido. Tienes que elegir un punto, pero no puedes decir que eliges el punto (2,1), porque los puntos no tienen coordenadas. Hasta ahora sólo tenemos un plano sin ejes, así que cada punto tendrá unas coordenadas u otras según los ejes que vayas a elegir. Elegir un origen es hacer "tac" con el lápiz y decir "éste es mi origen".
2) Una vez tienes el origen de coordenadas, en segundo lugar tienes que elegir unos ejes, dos rectas (preferentemente perpendiculares) que pasen por ese punto. Eso es equivalente a elegir dos vectores no nulos (preferentemente ortogonales) y de longitud 1, es decir, una base del espacio vectorial determinado por el plano y la elección del origen.
A partir de ese momento en que has fijado un origen y una base (o, equivalentemente, dos ejes de coordenadas orientados, de modo que esté claro cuál es el semieje positivo y cuál el negativo, y cuál es el eje de abscisas y cuál es el de ordenadas), sólo a partir de ese momento cada punto del plano afín tiene asignadas unas coordenadas relativas a tus elecciones.
Si tú y yo vemos el mismo plano afín, pero tú fijas unos ejes y yo fijo otros, no podemos ponernos a discutir si tú tienes razón cuando llamas (0,0) al punto que yo llamo (17,-54) o si soy yo el que está considerando las coordenadas correctas de cada punto. Las coordenadas no están en el plano de toda la vida. Están en el plano de toda la vida convertido en espacio vectorial de forma arbitraria por un observador desde el momento en que decide dónde planta sus ejes.
Por otra parte, tengo un poco de lío con la definición de coordenadas.
Creía que las coordenadas designaban una posición. Por lo tanto, en términos de espacio vectorial no tendría sentido hablar de coordenadas de un vector ya que las componentes de cualquier vector de un espacio vectorial serían simplemente una combinación lineal de los vectores de la base que se tome en dicho espacio, no una posición.
...No se, no entiendo por lo tanto por qué solo podemos hablar de coordenadas cuando fijamos una base.
Si tú y yo estamos viendo el mismo plano (sin ejes) y te pido que señales el punto de coordenadas (4,5), ¿qué punto señalarás, si no sabes los ejes que estoy considerando yo? Sólo tiene sentido hablar de coordenadas cuando has fijado un sistema de referencia (unos ejes o, equivalentemente, un punto origen y una base de vectores). En un espacio vectorial de dimensión dos, fijada una base \( \vec u, \vec v \), todo punto P está determinado por el vector de posición \( \vec r \) que va del origen hasta P, que podrá expresarse como combinación lineal \( \vec r= a\vec u+b\vec v \), para unos únicos coeficientes \( (a,b) \), y eso son, ni más ni menos, las coordenadas del punto P, o del vector de posición \( \vec r \).
