[Luis Fuentes]

Hola

 Se trata esencialmente de calcular la longitud de un trozo de parábola.



 Le llamo \( a \) en lugar de \( x \) a la longitud de la base para no liarla con la \( x \) de la ecuación.

 La ecuación de la parábola es (poniendo el origen en el vértice):

\(  y=\dfrac{4f}{a^2}{x^2} \)

 La longitud es:

\(  L=2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\sqrt{1+y'^2}dx \)

 con \(  y'=\dfrac{8f}{a^2}{\color{red}x\color{black}} \)

 La integral queda (da su trabajo):

\( \dfrac{4 fa \sqrt{1 + (16 f^2)/a^2}  + a^2 ArcSinh[(4 f)/a]}{8 f} \) (1)

 Para \( f=12 \) y \( a=100 \) resulta \( L=103.717 \).

 Dices que el libro pone:

\(  L=a+\dfrac{8f^2}{3a} \)

 que con los datos anteriores a mi me resulta:

 \( L=103.84 \)

 que se parece bastante a la solución exacta. El motivo es el siguiente, si se toman las siguientes aproximaciones (mediante algunos términos de la serie de Taylor) se tiene:

\(  \sqrt{1+x}\approx 1+\dfrac{x}{2} \)

\(  ArcSinh(x)\approx x-\dfrac{x^3}{6} \)

 Aplicando esto en (1) queda:

\(  \dfrac{a}{2}\left(1+\dfrac{8f^2}{a^2}\right)+\dfrac{a^2}{8f}\left(\dfrac{4f}{a}-\dfrac{64f^3}{6a^3}\right)=a+\dfrac{8f^2}{3a} \)

Saludos.

CORREGIDO (gracias Raúl Aparicio Bustillo)

[Luis Fuentes]

Hola

 Bien mirado supongo que en realidad aproxima antes de integrar. Es decir para resolver:

\(  L=2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\sqrt{1+y'^2}dx=2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\sqrt{1+\dfrac{64f^2}{a^2}x^2}dx \)

 Utiliza la aproximación:

\(  \sqrt{1+x}\approx 1+\dfrac{x}{2} \)
 
 Con lo cual la integral queda directamente:

\(  L\approx 2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\sqrt{1+y'^2}dx=2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\left(1+\dfrac{32f^2}{a^4}{x^2}\right)dx=\ldots=a+\dfrac{8f^2}{3a} \)

Saludos.

 

[Luis Fuentes]

Hola

 Si usamos la catenaria es de la forma:

\(  y=k((cosh(x/k)-1) \)

 suponiendo que la parte más baja está en el origen.

 Para ajustarla a los datos de \( f \) y \( a \) habría que resolver (por métodos numéricos):

\(  f=k((cosh(a/(2k))-1) \)
 
 La longitud sería después:

\(  2\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{1+sinh(x/k)^2}dx \)

 Ahora bien desde el principio puede aproximarse la catenaria por su ponilomio de Taylor de orden dos:

\(  cosh(x)\sim  1+\dfrac{x^2}{2} \)

 y queda:

\(  y\sim \dfrac{x^2}{2k} \)
 
lo cuál nos lleva de a la parábola de antes.

Saludos.

P.D. No obstante uno puede hacer los cálculos exactos con un programa de cálculo numérico. Por ejemplo con Mathematica:

Longitud[f_, a_] := (
  k = x /. FindRoot[x*(Cosh[a/(2*x)] - 1) - f, {x, a}];
  Return[2*NIntegrate[Sqrt[1 + Sinh[x/k]^2], {x, 0, a/2}]])

Que para \( f=1.2 \) y \( a=100 \) devuelve \( 100.038 \); o para \( f=12 \) y \( a=100 \), \( 103.742 \).

[Abdulai]

........
P.D. No obstante uno puede hacer los cálculos exactos con un programa de cálculo numérico. Por ejemplo con Mathematica:

Longitud[f_, a_] := (
  k = x /. FindRoot[x*(Cosh[a/(2*x)] - 1) - f, {x, a}];
  Return[2*NIntegrate[Sqrt[1 + Sinh[x/k]^2], {x, 0, a/2}]])

Que para \( f=1.2 \) y \( a=100 \) devuelve \( 100.038 \); o para \( f=12 \) y \( a=100 \), \( 103.742 \).

No hace falta integrar numéricamente 

\(  2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\underbrace{\sqrt{1+\sinh(x/k)^2}}_{=\cosh(x/k)}dx = \cdots = 2\displaystyle\sqrt{(2k+f)f} \)

[Luis Fuentes]

Hola

No hace falta integrar numéricamente 

\(  2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\underbrace{\sqrt{1+sinh(x/k)^2}}_{=\cosh(x/k)}dx = \cdots = 2\displaystyle\sqrt{(2k+f)f} \)

¡Ok, cierto!. 

Lo "númerico" sólo hace falta entonces para hallar \( k. \)

Saludos.

[Raúl Aparicio Bustillo]

 La longitud es:

\(  L=2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\sqrt{1+y'^2}dx \)

 con \(  y'=\dfrac{8f}{a^2}{x^2} \)

¿No quedaría \( y'=\dfrac{8f}{a^2}{x} \) en lugar de \(  y'=\dfrac{8f}{a^2}{x^2} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 La longitud es:

\(  L=2\displaystyle\int_{0}^{a/2}\sqrt{1+y'^2}dx \)

 con \(  y'=\dfrac{8f}{a^2}{x^2} \)

¿No quedaría \( y'=\dfrac{8f}{a^2}{x} \) en lugar de \(  y'=\dfrac{8f}{a^2}{x^2} \)?

Si, ya lo he corregido. Gracias.

Saludos.