Autor Tema: ¿Qué es un espacio de Banach?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

20 Octubre, 2015, 08:01 am
Leído 3467 veces

Raúl Aparicio Bustillo

  • Matemático
  • Mensajes: 3,105
  • Karma: +0/-3
  • Sexo: Masculino
¿QUé es un espacio de Banach?

¿En qué se diferencia de un espacio de Hilbert?

20 Octubre, 2015, 09:44 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,409
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

¿QUé es un espacio de Banach?

¿En qué se diferencia de un espacio de Hilbert?

Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado completo (toda sucesión de Cauchy es convergente).

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con un producto escalar, de manera que la norma que éste define le da estructura de espacio de Banach.

Es decir todo espacio de Hilbert es de Banach, pero no todo espacio de Banach es de Hilbert, porque hay normas que no provienen de un producto escalar.

Saludos.

20 Octubre, 2015, 02:15 pm
Respuesta #2

Raúl Aparicio Bustillo

  • Matemático
  • Mensajes: 3,105
  • Karma: +0/-3
  • Sexo: Masculino
O sea, que si la norma de un vector viene de un producto escalar, es un espacio de Hilbert.

Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado (tiene una norma real positiva o nula cada vector) ,y si esa norma es la raíz cuadrada del módulo de un producto escalar entonces es de Hilbert. En ambos casos, todas las sucesiones de vectores tienen límite (completo)

20 Octubre, 2015, 09:51 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,409
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 No entiendo porque prácticamente reescribes lo que he puesto, simplemente añadiendo imprecisión.

O sea, que si la norma de un vector viene de un producto escalar, es un espacio de Hilbert.

Si tienes un espacio de Banach, en el cual la norma está inducida por un producto escalar, es un espacio de Hilbert.

Citar
Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado (tiene una norma real positiva o nula cada vector) ,y si esa norma es la raíz cuadrada del módulo de un producto escalar entonces es de Hilbert. En ambos casos, todas las sucesiones de vectores tienen límite (completo)

Las sucesiones de vectores que sean de Cauchy, tienen límite.

Saludos.

20 Octubre, 2015, 10:00 pm
Respuesta #4

Raúl Aparicio Bustillo

  • Matemático
  • Mensajes: 3,105
  • Karma: +0/-3
  • Sexo: Masculino
Una sucesión de vectores de Cauchy, ¿qué es?, que la diferencia en modulo entre un vector y el inmediato anterior tienda a 0, como las sucesiones de Cauchy de reales con el valor absoluto?

20 Octubre, 2015, 10:05 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,409
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Una sucesión de vectores de Cauchy, ¿qué es?, que la diferencia en modulo entre un vector y el inmediato anterior tienda a 0, como las sucesiones de Cauchy de reales con el valor absoluto?

Pues el concepto de sucesión de Cauchy en un espacio normado es efectivamente el mismo que para sucesiones reales, pero no es el que dices. Una sucesión \( \{x_n\} \) es de Cauchy si:

para todo \( \epsilon>0 \) existe \( N\in \mathbb{N} \) tal que si \( n,m\color{red}\geq\color{black} N \) entonces \( \|x_n-x_m\|<\epsilon \)

Eso no es lo mismo que decir que la diferencia entre un término y el siguiente, en norma, tienda a cero. Por ejemplo la sucesión\(  x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}\color{red}1/k\color{black} \) cumple que \( x_{n+1}-x_n=\dfrac{1}{n+1} \) tiende a cero, pero no es de Cauchy.

Saludos.

CORREGIDO (gracias Piockñec et al.)

20 Octubre, 2015, 11:01 pm
Respuesta #6

Piockñec

  • Héroe
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
En la definición de sucesión de Cauchy, el_manco, se te ha escapado un \( \leq{} \) donde las n,m, cuando es \( n,m\geq{N} \)
(Con n,m suficientemente grandes, la serie converge lo suficiente y la distancia entre los puntos se hace más chica que el épsilon que hemos fijado)

Completo mi comentario :laugh: : Un espacio X de Banach tan sólo es un conjunto equipado con una norma y completo, es decir, que toda sucesión de Cauchy converge en el espacio X.

Esto último de completo se puede interpretar así: Un espacio de Banach es un conjunto sin agujeros.

Por ejemplo, si tomas los números reales \( \mathbb{R} \) y los equipas con la norma "valor absoluto" típica, toda sucesión de Cauchy convergerá dentro de \( \mathbb{R} \). Peeero si haces lo mismo con los racionales.... podrías encontrarte con alguna sucesión de Cauchy que va tocando sólamente números racionales y... de repente... puf! en el límite converge a un número irracional!!! (Muy típico de las definiciones de pi, de la raíz de 2, de e... como límites de sucesiones de números racionales :) La sucesión de Cauchy convergería... fuera del espacio, así que no es de Banach.
La mayoría de los espacios que yo conozco son de Banach :)

Si alguien no está de acuerdo o quiere aportar sutilezas o matices, que lo haga jajaja que llevo poco tiempo con esto y no lo domino.

Nota: Los libros que yo he visto cogen a los reales y a los racionales como ejemplos típicos en todo, todo!!! Lo guay, por lo que estoy viendo, es verlo como algo gracioso, y centrar la imaginación y el trabajo en los espacios de funciones :P o al menos en mis cortas luces, que eso es de lo que van mis estudios y parece una idea muy bien encaminada! También estoy viendo que se le aplican a las probabilidades, teoría de juegos y equilibrio de Nash para el análisis convexo (minimización/optimización), no sé, tienen un horizonte muy amplio estos conceptos de topología/espacios métricos, y en los libros ni los mencionan. Está bien que un libro te abra los ojos de cuando en cuando :)