Autor Tema: Medidas invariantes y desigualdad integral.

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27 Agosto, 2015, 04:44 pm
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numbsoul

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Tenemos que \( |\displaystyle\int_{0}^{u}\mu S(t)f\;dt|\leq \displaystyle\int_{0}^{u}|\mu S(t)f|\;dt \) (1)

Ahora, por definición, se tiene que \( |\mu S(t)f|=|\displaystyle\int_{X}S(t)f(\eta)\;d\mu(\eta)|\leq \displaystyle\int_{X}|S(t)f(\eta)|d\mu(\eta) \).

Ahora de la definición de \( S(t)f \), es claro que \( |S(t)f|\leq \|f\|_{\infty} \). Por lo tanto \( |\mu S(t)f|\leq \|f\|_{\infty} \) (porque \( \displaystyle\int_{X}d\mu(\eta)=1 \)).

En consecuencia, retornando a (1), se tiene \( |\displaystyle\int_{0}^{u}\mu S(t)f\;dt|\leq \|f\|_{\infty}u \).

Por la misma razón \( |\displaystyle\int_{n}^{n+u}\mu S(t)f\;dt|\leq \|f\|_{\infty}((n+u)-n)=\|f\|_{\infty}u \)