Autor Tema: Integral sobre un área

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27 Septiembre, 2015, 12:00 am
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Marcos Castillo

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Hola, mi poco conocimiento sobre cálculo hace que no entienda el paso final de la resolución de un ejercicio de física. Dice así:
"Supongamos que tenemos un campo magnético que tiene la expresión \( \mathbf{B}(x,y,z)=(x^{2}+zy)\mathbf{i}+(\sin y)\mathbf{j}+(x+y+j)\mathbf{k}\;\mbox{T} \). Calcular el flujo magnético que atraviesa el cuadrado de lado \( \mbox{L} \) (metros) representado en la figura (dibujo adjunto)."
Solución:
"El flujo magnético a través de una superficie tiene la forma
\( \phi=\displaystyle\int_{S}\mathbf{B}\cdot{\mathbf{\hat{n}}\;dA} \)
En nuestro caso tenemos
\( \phi=\displaystyle\int{\mathbf{B}\cdot{\mathbf{k}}\;dxdy} \)
Sustituyendo el valor del campo y realizando el producto escalar obtenemos
\( \phi=\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\int_{0}^{L}(x+y)\;dxdy \)
donde además hemos tenido en cuenta que para este cuadrado, \( z=0 \). Integrando
\( \phi=\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\int_{0}^{L}(x+y)\;dxdy=L^3\;\mbox{Nm^{2}C^{-1}} \)."
¿Cuáles son los pasos que resuelven esta integral definida?.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

27 Septiembre, 2015, 12:15 am
Respuesta #1

avmath

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Hola Marcos, la resolución de dicha integral se realiza primero integrando sobre x, porque es la variable más interna y luego sobre y de la siguiente manera:

\( \phi={\displaystyle \int_{0}^{L}{\displaystyle \int_{0}^{L}(x+y)\;dxdy={\displaystyle \int_{0}^{L}{\displaystyle \left(\int_{0}^{L}xdx+\int_{0}^{L}ydx\right)dy}}}} \)
Entonces tenemos por una parte que(estoy calculando solo lo que hay dentro de los paréntesis anteriores, luego haré lo más externo):

\( \displaystyle{\int_{0}^{L}xdx+\int_{0}^{L}ydx=\int_{0}^{L}xdx+y\int_{0}^{L}dx}
 \)
al integrar sobre la \( x \) se trata la \( y \) como si fuese una constante, pues:

\( \displaystyle{\int_{0}^{L}xdx+y\int_{0}^{L}dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}+y\left[x\right]_{0}^{L}=\frac{L^{2}}{2}+Ly}
 \)

entonces ahora tenemos que integrar sobre la \( y \).

\( \displaystyle{\phi=\int_{0}^{L}\left(\frac{L^{2}}{2}+Ly\right)dy=\int_{0}^{L}\frac{L^{2}}{2}dy+L\int_{0}^{L}ydy=\frac{L^{2}}{2}\left[y\right]_{0}^{L}+L\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{L}=\frac{L^{3}}{2}+\frac{L^{3}}{2}=L^{3}} \)


Perdón a los matemáticos por lo de "se trata la \( y \) como si fuese una constante" no he dado nunca cálculo multivariable y no sé como se trata formalmente

Un saludo.

27 Septiembre, 2015, 09:55 am
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias, avmath!
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