Autor Tema: [RESUELTO] Colección infinita de abiertos disjuntos es numerable

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23 Septiembre, 2015, 02:18 am
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nikolatsl

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Buenas!

Tengo una consulta. Me dieron el siguiente enunciado y no sé si lo estoy interpretando bien.

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Demostrar que toda colección infinita de intervalos abiertos disjuntos es numerable.

Mi duda parte de que no recuerdo, y no puedo encontrar, si los intervalos abiertos son numerables. Sé que, por ejemplo, el \( [0,1] \) no lo es, así que me parece bastante lógico que el \( (0,1) \) tampoco lo sea. Siendo esto así, lo que entiendo del enunciado es que piden demostrar poder numerar dichos intervalos, en cuyo caso la idea sería tratar de probar que cada uno de estos intervalos contiene al menos un racional, y que al ser \( \mathbb{Q} \) numerable, dicha colección también lo es (colección vendría a ser lo mismo que unión de los intervalos, no?).

En caso de no ser así, lo que entendí es que tendría que probar que la unión de todos los elementos de los intervalos es numerable, en cuyo caso no sabría muy bien por dónde empezar.

Espero haber sido claro con el motivo de la duda.

Gracias de antemano!

23 Septiembre, 2015, 04:13 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola nikolatsl.

Mi duda parte de que no recuerdo, y no puedo encontrar, si los intervalos abiertos son numerables. Sé que, por ejemplo, el \( [0,1] \) no lo es, así que me parece bastante lógico que el \( (0,1) \) tampoco lo sea.

Sabiendo que \( [0,1] \) es no numerable, entonces al quitarle dos elementos seguirá siendo no numerable.


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Siendo esto así, lo que entiendo del enunciado es que piden demostrar poder numerar dichos intervalos, en cuyo caso la idea sería tratar de probar que cada uno de estos intervalos contiene al menos un racional, y que al ser \( \mathbb{Q} \) numerable, dicha colección también lo es (colección vendría a ser lo mismo que unión de los intervalos, no?).

En caso de no ser así, lo que entendí es que tendría que probar que la unión de todos los elementos de los intervalos es numerable, en cuyo caso no sabría muy bien por dónde empezar.

Ningún abierto no vacía es numerable. Lo que hay que probar que el conjunto cuyos elementos son intervalos abiertos es numerable.

Voy a escribir más formalmente la indicación que das.

Sea

    \( U=\{I_i\} \)

una colección de intervalos abiertos disjuntos. Como cada \( I_i \) es abierto, contiene un racional \( q_i \), y como los conjuntos que componen \( U \) son disjuntos, entonces cada \( q_i \) elegido pertenece a un único \( I_i \). Luego la aplicación \( F:\, U\longrightarrow\mathbb{Q},\;\, F(I_i)=q_i \) es inyectiva, y como los racionales son numerables entonces...

23 Septiembre, 2015, 11:02 am
Respuesta #2

feriva

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Mi duda parte de que no recuerdo, y no puedo encontrar, si los intervalos abiertos son numerables. Sé que, por ejemplo, el \( [0,1] \) no lo es, así que me parece bastante lógico que el \( (0,1) \) tampoco lo sea. Siendo esto así, lo que entiendo del enunciado es que piden demostrar poder numerar dichos intervalos

(Éste es un comentario sin demasiada importancia) Comprendo que dudes. Ocurre que, por comodidad, por ahorrar palabras, se dicen las cosas dejando un margen para que se sobreentienda algo. Por ejemplo, se dice que el conjunto de los reales no es numerable; si pensamos, el conjunto de los reales es “un conjunto”, uno, por tanto alguien podría entender que sí es numerable; lo que no se puede es numerar los elementos que contiene el conjunto. 

23 Septiembre, 2015, 02:47 pm
Respuesta #3

mathtruco

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Creo que en el ejemplo que das no hay nada ambiguo, pero -como siempre en matemática- hay que ser cuidadoso con las definiciones.

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Definición: Un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo.

Luego, el conjunto de los reales no es numerable porque sus elementos no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto de los naturales.

Cosa distinta es el conjunto cuyo elemento es el conjunto de los reales, el cual tiene un solo elemento.

23 Septiembre, 2015, 11:13 pm
Respuesta #4

nikolatsl

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mathtruco y feriva, gracias a ambos por las respuestas!

Tres consultas más.

La primera es si es válido que para un conjunto no numerable, si se le extrae cualquier conjunto numerable, el resultante sigue siendo no numerable.

La segunda es si para la demostración de que en un conjunto abierto siempre hay un racional se usa la propiedad arquimediana de los números reales.

Y la última, porque ya lo vi en varios lados, la definición que tengo yo de conjunto numerable es que exista una aplicación biyectiva pero en varios lados leí que solo dicen que es inyectiva. Cómo eso es equivalente a biyectiva? Dónde está lo implícito que me permite solo necesitar que sea inyectiva?

23 Septiembre, 2015, 11:32 pm
Respuesta #5

mathtruco

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Tres consultas más.

La primera es si es válido que para un conjunto no numerable, si se le extrae cualquier conjunto numerable, el resultante sigue siendo no numerable.

Sí. La demostración es casi directa procediento por contradicción.

La segunda es si para la demostración de que en un conjunto abierto siempre hay un racional se usa la propiedad arquimediana de los números reales.

Sí.

Y la última, porque ya lo vi en varios lados, la definición que tengo yo de conjunto numerable es que exista una aplicación biyectiva pero en varios lados leí que solo dicen que es inyectiva. Cómo eso es equivalente a biyectiva? Dónde está lo implícito que me permite solo necesitar que sea inyectiva?

Las dos definiciones siguientes son equivalentes.

(a) Un conjunto es numerable si existe una aplicación biyectiva entre sus elementos y un subconjunto de los naturales.

(b) Un conjunto es numerable si existe una aplicación inyectiva entre los elementos del conjunto y un subconjunto de los números naturales.


- Probemos (a)\( \Rightarrow \)(b)
Si existe la biyección de (a) este misma es en particular inyectiva, por lo que se tiene (b)

- Probemos (b)\( \Rightarrow \)(a)
Sea \( F:A\rightarrow N \) inyectiva, con \( N\subseteq\mathbb{N} \),
Es claro que \( F:A\rightarrow f(A) \) es sobreyectiva y \( f(A)\subseteq N\subseteq\mathbb{N} \), por lo que se tiene (a).

24 Septiembre, 2015, 01:32 pm
Respuesta #6

nikolatsl

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05 Agosto, 2020, 06:02 am
Respuesta #7

geeralml

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Sea $$G\subset \mathbb{R}$$ un conjunto abierto. Si $$G=\emptyset$$, no hay nada que demostrar, así que supongamos que $$G\not= \emptyset$$.
Consideremos que si un conjunto $$X\subset \mathbb{R}$$ no está acotada superiormente o inferiormente diremos que $$\sup{X}:=+\infty$$ o $$\inf{X}:=-\infty$$ respectivamente.
Como $$G\not= \emptyset$$, sea $$x\in G$$, luego como $$G$$ es abierto, existe $$B_\varepsilon(x)\subset G$$.
Construimos los conjuntos:
\begin{equation*}
A_x=\{a\in \mathbb{R} ~|~ \left< a,x\right> \subset G\} \quad \wedge \quad
B_x=\{b\in \mathbb{R} ~|~ \left< x,b\right> \subset G\}
\end{equation*}
$$A_x$$ y $$B_x$$ son no vacíos, pues como $$\left<x-\varepsilon,x\right> \subset G$$ y $$\left<x,x+\varepsilon\right> \subset G$$ entonces $$x-\varepsilon \in A_x$$ y $$x+\varepsilon \in B_x$$.
Luego, si $$A_x$$ está acotado inferiormente, el valor del ínfimo será un número real y si no lo está será $$- \infty$$. Para el caso de $$B_x$$, si está acotado superiormente, el valor será un número real y si no lo está será $$+\infty$$.
Además, es claro que $$\inf A_x \notin G$$ y $$\sup B_x \notin G$$.
Así formamos el intervalo abierto:
\begin{equation*}
I_x=\left< \inf{A_x},\sup{B_x}\right>
\end{equation*}
Observación: $$x\in I_x$$ y que $$I_x \subset G$$ para todo $$x\in G$$.

Afirmación 1: No existe un intervalo abierto $$J$$ más grande que $$I_x$$ (en sentido de inclusión) tal que $$I_x \subset J\subset G$$, pues si existe otro intervalo abierto $$J$$ tal que $$I_{x} \subsetneq J \subset G$$, se infiere que $$\inf A_x$$ o $$\sup B_x$$ deben ser un real pues si los 2 fueran $$-\infty$$ y $$+\infty$$ respectivamente, entonces $$I_x=J$$. Luego, como $$I_{x} \subsetneq J$$:
\begin{equation*}
\inf A_x \in J ~~\vee~~ \sup B_x \in J
\end{equation*}
Como $$J$$ un intervalo abierto entonces existe $$B_{\varepsilon_1}(\inf A_x) \subset J ~\vee~ B_{\varepsilon_1}(\sup B_x) \subset J$$.
Y como $$J\subset G$$, se tiene que $$\inf A_x-\varepsilon_1\in A_x ~\vee~ \sup B_x+\varepsilon_1 \in B_x$$, lo cual es una contradicción.


Luego defino la siguiente familia:
\begin{equation*}
\mathcal{I}=\{I_x ~:~ x\in G\}
\end{equation*}

Afirmación 2: $$G=\bigcup_{x\in G}I_x$$, en efecto:
  • Como $$I_x \subset G$$ para todo $$x\in G$$, entonces $$\bigcup_{x\in G}I_x\subset G$$.
  • Ahora probaremos que $$G\subset\bigcup_{x\in G}I_x$$.
    Sea $$x\in G$$, luego tenemos los conjuntos no vacíos:
    \begin{equation*}
    A_x=\{a\in \mathbb{R} ~|~ \left< a,x\right> \subset G\} \quad \wedge \quad
    B_x=\{b\in \mathbb{R} ~|~ \left< x,b\right> \subset G\}
    \end{equation*}
    Y así tenemos el intervalo abierto $$I_x=\left< \inf{A_x},\sup{B_x}\right>$$.
    Como $$x\in I_x$$, entonces $$x\in \bigcup_{x\in G}I_x$$.
    Luego $$G\subset\bigcup_{x\in G}I_x$$
Por lo tanto:
\begin{equation*}
G=\bigcup_{x\in G}I_x
\end{equation*}

Afirmación 3: Si $$I_x\not=I_y$$ entonces $$I_x\cap I_y=\emptyset$$, en efecto:
Supongamos que $$I_x\cap I_y\not= \emptyset$$, entonces $$I_x\cup I_y$$ es un intervalo abierto.
Luego, como $$I_x\subset I_x\cup I_y$$ y $$I_y\subset I_x\cup I_y$$, por la afirmación 1, se tiene que $$I_x = I_x\cup I_y$$ y $$I_y = I_x\cup I_y$$, entonces $$I_x=I_y$$, lo cual es una contradicción.

Esto nos indica que en la colección $$\mathcal{I}$$ hay intervalos que se repiten y los que no se repiten son disjuntos.
Finalmente, por la densidad en $$\mathbb{R}$$, podemos elegir un número racional diferente que está en cada intervalo diferente de $$\mathcal{I}$$.
Sea $$Q$$ el conjunto de todos los racionales elegidos que están en cada intervalo diferente de $$\mathcal{I}$$.
Como $$\mathbb{Q}$$ es numerable y $$Q\subset \mathbb{Q}$$, entonces $$Q$$ es numerable.
Sea $$\mathcal{I}'$$ una subfamilia de $$\mathcal{I}$$ donde están todos los intervalos que son diferentes, como los intervalos diferentes de la familia $$\mathcal{I}$$ están relacionados uno a uno con los elementos de $$Q$$, entonces la subfamilia $$\mathcal{I}'$$ es numerable.
Es decir, cada intervalo de $$\mathcal{I}'$$ se le puede asignar un natural.
Luego la unión de intervalos de $$\mathcal{I}'$$ es numerable.
Además la unión de los intervalos de $$\mathcal{I}'$$ es igual a $$G$$, pues los demás intervalos se repiten.