Autor Tema: Teorema de Tate

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01 Noviembre, 2007, 04:28 am
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EnRlquE

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Hola, estoy intentando demostrar el siguiente teorema de Tate:

Sea \( f:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n} \) un a función con la siguiente propiedad: Existe un \( C>0 \) tal que

\( ||f(x+y)-f(x)-f(y)||\leq C \), \( \forall x,y\in\mathbb{R}^{m} \)

Entonces existe un único \( T\in{\cal L}(\mathbb{R}^{m},\mathbb{R}^{n}) \) tal que \( \sup\{||T(x)-f(x)||;x\in\mathbb{R}^{m}\}<+\infty \)

(Sugerencia: Pruebe que existe el límite \( \displaystyle g(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{f(2^{k}x)}{2^{k}} \)).
Spoiler
Hasta el momento he conseguido probar la sugerencia, además de eso he probado que \( g:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n} \) tiene las siguientes propiedades

(1) \( g(x+y)=g(x)+g(y) \), \( \forall x,y\in\mathbb{R}^{m} \).

(2) \( g(0)=0 \).

(3) \( g(rx)=rg(x) \), \( \forall x\in\mathbb{R}, \forall r\in\mathbb{Q} \).

 Intuyo que \( g \) debe ser lineal, pero no encuentro la manera de extender (3) a los reales. Y tampoco tengo muy claro cómo relacionar esto con la conclusión del teorema.
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Agradezco de antemano su ayuda.

01 Noviembre, 2007, 01:14 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 A falta de pensar la demostración formal, la idea es la siguiente.

 Por simplificar piensa en una función de R en R.

 La condición que te dan sobre f, te dice que, si bien ésta no tiene porque ser lineal, es "casi" lineal. Digamos que la gráfica de f no debe de alejarse demasiado de una recta que pasa por el origen (no se aleja más de "C").

  ¿Cómo localizamos esa recta (la función lineal T que buscas)? Pues parece razonable que su pendiente, se parezca a la pendiente del vector que une (x,f(x)) con el orgien, o dicho de otra manera, que dicha recta sea una asíntota de f.

 Entonces es lógico que nuestra T buscada sea de la forma:

\(  T(x)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(n)}{n}x \)

 Fíjate además que, con esa definición:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(xn)}{n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}x\displaystyle\frac{f(xn)}{xn}=T(x) \)

 Un par de cosas más para terminar tu demostración:

Spoiler
i) Si no me equivoco la condición sobre f implica que:

\(  |f(nx)-nf(x)|\leq (n-1)C \)

 Entonces:

\(  |\displaystyle\frac{f(nx)}{n}-f(x)|\leq \displaystyle\frac{(n-1)C}{n} \)

 y pasando al límite tendras |T(x)-f(x)| acotado para todo x.

 ii) En cuanto a linealidad de tu g. Conoces el resultado para funciones reales. Si \( h:R\longrightarrow{} R \) cumple h(x+y)=h(x)+h(y) entonces es lineal.

 En tu caso fijado x en \( R^m \), aplica lo anterior a: \( h(\lambda)=g_i(\lambda x) \), siendo i la componente i-ésima de g.

 iii) Lo que no se es porqué en la sugerencia que te dan aparece un \( 2^k \) en lugar de n. Me hace pensar que en algún paso uno va a necesitar sumar en k desde 1 hasta infnito y utilizar la convergencia suma de una progresión geométrica, pero no lo veo.

 Con todo esto intenta completar los detalles.
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Saludos.

03 Noviembre, 2007, 03:38 am
Respuesta #2

EnRlquE

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Hola el_manco, muchas gracias por la respuesta, es justo lo que necesitaba  :D.

Pues como

\( \displaystyle g(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f(nx)}{n} \)

Se deduce rápidamente de i) (en tu indicación), lo que me piden.

 Ahh y creo que la razón del \( 2^{k} \) en la sugerencia fue para la demostración de la convergencia de \( \displaystyle g_{k}(x)=\frac{f(2^{k}x)}{2^{k}} \), pues como dices se usó el hecho de la convergencia de la serie \( \displaystyle\sum\frac{1}{2^{k}} \) para demostrar que \( g_{k} \) es de Cauchy.

 Espero estar en lo correcto, corrígeme si me equivoco.

Gracias.

03 Noviembre, 2007, 10:14 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 OK. Como ya dijiste que sí tenías la convergencia, ni me paré a ver cómo se conseguía. Pero, cierto, se utiliza lo de \( 2^k \).

Saludos.

03 Noviembre, 2007, 11:48 pm
Respuesta #4

EnRlquE

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Muchas gracias  :)

23 Agosto, 2019, 03:13 pm
Respuesta #5

Eparoh

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ii) En cuanto a linealidad de tu g. Conoces el resultado para funciones reales. Si \( h:R\longrightarrow{} R \) cumple h(x+y)=h(x)+h(y) entonces es lineal.

 En tu caso fijado x en \( R^m \), aplica lo anterior a: \( h(\lambda)=g_i(\lambda x) \), siendo i la componente i-ésima de g.

Hola, se que éste es un post antiguo, pero leyendo la respuesta de Luis Fuentes sobre la linealidad de \( g \), se enuncia que si es \( h:R\longrightarrow{} R \) con \( h(x+y)=h(x)+h(y) \) entonces \( h \) es lineal.
Sin embargo, no consigo demostrar ésto sin suponer nada más. Se que el resultado es cierto si la función es continua en un punto, pero no lo conocía en esta forma.
¿Alguien sabe como demostrarlo?

Un saludo y gracias por su tiempo.

EDITO: He encontrado en este enlace (https://mathoverflow.net/questions/57426/are-there-any-non-linear-solutions-of-cauchys-equation-fxy-fxfy-wit) que, aunque de forma un poco rebuscada esta afirmación no es cierta.
Entonces, ¿es salvable la demostración del teorema de este modo, es decir, se puede ver de alguna forma que \( h \) sea por ejemplo, continua en un punto, para ver que es lineal (o verlo de alguna otra forma), o habría que buscar otro enfoque?