[mazuro]

Hola a todos

Para la evaluación de      \( x=1+\displaystyle\frac{1}{5+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{5+...}}} \)

(fracción contínua que presenta una sucesión infinita de 1 y 5), se repiten los dos siguientes pasos:
-aislar la función,
-invertir.

Así los dos primeros pasos conducen a     \( x-1=\displaystyle\frac{1}{5+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{5+...}}} \)   y   luego   \( \displaystyle\frac{1}{x-1}=5+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{5+...}} \)

Usa este método y obtén el valor de \( x \)  bajo una forma algebraica (exacta). Estudia en una hoja de cálculo (por ejemplo Excel) la aproximación de \( \sqrt[ ]{5} \)  proporcionada por las primeras reducidas (fracciones obtenidas al parar el desarrollo en una etapa finita).

Sinceramente hasta ahora veo este tema, hice lo de excel:   





Luego la fracción continuada de \( \sqrt[ ]{5} \)   es:

\( [2;4,4,4,4,...]=2+\displaystyle\frac{1}{4+\displaystyle\frac{1}{4+\displaystyle\frac{1}{4+\displaystyle\frac{1}{4+...}}}} \)

Bueno no sé si esto está bien... ¿Cómo podría proceder para encontrar el valor de  \( x \)  bajo una forma algebraica?

Muchas gracias, saludos.

[Abdulai]

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Así los dos primeros pasos conducen a     \( x-1=\displaystyle\frac{1}{5+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{5+...}}} \)   y   luego   \( \displaystyle\frac{1}{x-1}=5+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{5+...}} \)

Usa este método y obtén el valor de x bajo una forma algebraica (exacta).

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Bueno no sé si esto está bien... ¿Cómo podría proceder para encontrar el valor de  \( x \)  bajo una forma algebraica?

Si te hacen una sugerencia... por algo será.

Continuás el proceso y

\( \displaystyle\frac{1}{x-1}=5+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{5+...}} \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{1}{\frac{1}{x-1}-5} =  1+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5+...}}} = x \)


Entonces, solo hay que resolver la ecuación  \( \dfrac{1}{\frac{1}{x-1}-5} =  x \)

[mazuro]

Muchas gracias

La ecuación tiene dos soluciones:  \( x_1=\displaystyle\frac{5+3\sqrt[ ]{5}}{10} \)  y   \( x_2=\displaystyle\frac{5-3\sqrt[ ]{5}}{10} \)

Para   \( x_1=\displaystyle\frac{5+3\sqrt[ ]{5}}{10} \)   se cumple hasta la posición 19, a partir de la posición 20 ya no aparece 5, 1, 5, 1, 5,... no sé que podría pasar acá o simplemente Excel trabaja hasta un cierto número limitado de cifras decimales...

Para \( x_2 \)   solo cumple desde la posición 4 hasta la 20 (derecha)...



     Sólo podría decir que se cumple para \( x_1 \) ? 

Muchas gracias, saludos

[Carlos Ivorra]

Cada fracción continua infinita representa un único número irracional, no puede haber dos soluciones. La solución correcta es \( x_1 \). Si no te cuadra a partir de un término es por problemas de precisión del Excel.

[Juan Pablo Sancho]

Esto te puede servir, aunque yo lo hago a lo bruto:

\(  {\red Editado } \)

https://www.google.es/url?q=https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%25C3%25B3n_continua&sa=U&ved=0CBkQFjABahUKEwiJvej_moTIAhWGWxoKHaCuCjM&usg=AFQjCNGxy-7wJw-8udYsHXuSLHwTR7EblQ
‎
Esto que te pongo es es sólo una idea y pueda estar mal.

Spoiler

\(   x = 1 + \dfrac{1}{5 + \dfrac{1}{x}}  \) rebuscando un poco.

Para sacar una aproximación de \(  \sqrt{5}  \)

\(  \sqrt{5} = 2 + x  \) elevamos al cuadrado \(  5 = (2+x)^2 = 4 + x^2  + 4 \cdot x  \) resto 4 en ambos lados de la desigualdad y luego divido por \(  x+4  \)

\(  x = \dfrac{1}{x+4}  \)

\( {\red Editado } \)

Te queda:

\(  x = \dfrac{1}{4+x}  \)

\(  x = \dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4+ x}}  \)

\(  x = \dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4+ \dfrac{1}{4 + x}}}  \)

Y continuar de esta forma.

[cerrar]

Veo que te dieron el camino.
 

[mazuro]

Muchas gracias a todos

Entiendo que la solución es \( x_1 \)

Pero sigo sin entender por qué una aproximaciónk de  \( \sqrt[ ]{5} \)  ... 

Muchas gracias, saludos.

[Abdulai]

...
Entiendo que la solución es \( x_1 \)

\( x_2 \)  es negativa, descartada de entrada.

Pero sigo sin entender por qué una aproximaciónk de  \( \sqrt[ ]{5} \)  ... 

\( [2;4] = 2+\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4} \)

\( [2;4,4] = 2+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4}} = \dfrac{38}{17} \)

\( [2;4,4,4] = \cdots= \dfrac{161}{72} \)

\( [2;4,4,4,4] = \cdots = \dfrac{683}{305} \)


Comparalos con \( \displaystyle\sqrt{5} \)

[mazuro]

Muchas gracias, entiendo!!!   

Saludos