Autor Tema: Argumento por densidad - mostrar que la delta de Dirac no pertenece a Lp

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Octubre, 2015, 03:11 pm
Leído 594 veces

Piockñec

  • Héroe
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
La duda aquí viene en el argumento de densidad. No sé cómo se usa. El caso es que todos los ejercicios de esta tanda son medio facilillos, pero los de densidad no sé sacarlos...

Mostrar que la función delta de Dirac no pertenece a \( L^p(]-1,1[) \) para \( 1\leq{p}<\infty \)
Indicación: Considerar el caso \( p=1 \). Suponer que existe \( u\in L^1 \) tal que \( <\delta,\phi>=\int u\phi \) para todo \( \phi\in \mathcal{C}^\infty_0(\Omega) \). Escribir \( v(x)=xu(x) \). Utilizar la densidad de \( \mathcal{C}^\infty_0(\Omega) \) en \( L^p(\Omega) \) para mostrar que \( v=0 \). Concluir.

Te viene pasito a pasito, pero ni idea, no sé ni cómo empezar, porque no sé adónde tengo que llegar.

¡Muchas gracias! :)

Lo de que un espacio es denso en otro creo que lo entiendo:

\( \forall f\in L^p \exists g_n\in \mathcal{C}^\infty_0 \forall \varepsilon \exists N \left\|{f-g_n}\right\|_{L^p}<\varepsilon \forall n>N \)

Dicho de otra forma, puedo construir una sucesión de funciones (distribuciones) infinitamente derivables a soporte compacto que se acerquen (según la norma Lp) tanto como quieran a la función de Lp (a cualquier función de Lp).

Supongo que si pruebo que la delta no pertenece al espacio de funciones infinitamente derivables a soporte compacto, estaré probando que no pertenece a ningún Lp... (?) Porque si es así, me pongo a derivar como un loco n veces en el sentido de las distribuciones y a comprobar que la delta no cumple la definición de la derivada para algún n.