Autor Tema: ¿Medida de Riemann?

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04 Septiembre, 2015, 03:12 pm
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Weip

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Hola a todos. Dado que para definir la integral de Lebesgue necesitamos el concepto de medida he pensado que la integral de Riemann tendría que necesitar de medidas también para definirla. He buscado por internet y he encontrado este enlace:http://math.stackexchange.com/questions/214959/does-the-riemann-integral-come-from-a-measure. Aquí se dice que no pero no he entendido la justificación. Lo que pienso es que la supuesta "medida de Riemann" podría ser la medida de Lebesgue de un intervalo. En principio no veo problemas para hacerlo así aunque es cierto que igual es complicarse por complicarse. En definitiva ¿existe algún tipo de medida de Riemann? ¿todas las integrales necesitan de medidas? Y por ir más allá ¿qué otras generalizaciones de la integral de Lebesgue existen? Esto último es porque hay funciones integrables en sentido impropio pero no en sentido de Lebesgue. ¿Cómo se tapa ese agujero?

Gracias por adelantado.

04 Septiembre, 2015, 03:33 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Dado que para definir la integral de Lebesgue necesitamos el concepto de medida

Depende de lo que entiendas por "integral de Lebesgue". Si te refieres al concepto de "integral a partir de una medida arbitraria", obviamente, para definir la integral necesitas una medida. Pero si te refieres a "integral respecto de la medida de Lebesgue", entonces no es raro encontrar libros en los que primero construyen la integral de Lebesgue (sin usar medidas para nada, definiendo la integral de funciones escalonadas, luego de funciones positivas y luego de funciones medibles arbitrarias) y después definen la integral de Lebesgue a partir de la integral.

he pensado que la integral de Riemann tendría que necesitar de medidas también para definirla. He buscado por internet y he encontrado este enlace:http://math.stackexchange.com/questions/214959/does-the-riemann-integral-come-from-a-measure. Aquí se dice que no pero no he entendido la justificación.

Ese "no" presupone que al hablar de "medidas" nos referimos a medidas numerablemente aditivas. Del mismo modo que la integral de Lebesgue puede definirse a partir de la medida de Lebesgue, la integral de Riemann puede definirse a partir de la medida de Jordan, pero ésta es una medida finitamente aditiva, por eso no contradice al "no" de la referencia que das. Así, un conjunto es medible Jordan si y sólo si su función característica es integrable Riemann.

Lo que pienso es que la supuesta "medida de Riemann" podría ser la medida de Lebesgue de un intervalo.

No. Es la medida de Jordan.

En principio no veo problemas para hacerlo así aunque es cierto que igual es complicarse por complicarse. En definitiva ¿existe algún tipo de medida de Riemann?

Sí, pero es una medida finitamente aditiva.

¿todas las integrales necesitan de medidas?

Depende de lo que entiendas por "necesitar". Como te digo, puedes definir la integral de Lebesgue sin hacer referencia a medidas para nada.

Y por ir más allá ¿qué otras generalizaciones de la integral de Lebesgue existen? Esto último es porque hay funciones integrables en sentido impropio pero no en sentido de Lebesgue. ¿Cómo se tapa ese agujero?

No hay ningún agujero. La integral de Lebesgue está definida para funciones definidas sobre intervalos no acotados, mientras que la integral de Riemann propia sólo está definida en intervalos acotados. Por eso en el caso de la integral de Lebesgue no hay diferencia entre integrales propias o impropias.

En cuanto a generalizaciones, la integral de Lebesgue en el sentido general, es decir, no el de la integral respecto de la medida de Lebesgue, sino de la integral respecto de una medida arbitraria, ya es una generalización muy amplia. No sé si tu pregunta quiere ir más allá o no estás teniendo esto en cuenta.

04 Septiembre, 2015, 04:30 pm
Respuesta #2

Weip

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Gracias por responder.
Depende de lo que entiendas por "integral de Lebesgue". Si te refieres al concepto de "integral a partir de una medida arbitraria", obviamente, para definir la integral necesitas una medida. Pero si te refieres a "integral respecto de la medida de Lebesgue", entonces no es raro encontrar libros en los que primero construyen la integral de Lebesgue (sin usar medidas para nada, definiendo la integral de funciones escalonadas, luego de funciones positivas y luego de funciones medibles arbitrarias) y después definen la integral de Lebesgue a partir de la integral.
Ignoraba que se pudiera hablar de integral de Lebesgue respecto de una medida arbitraria. Tal como me lo han enseñado me refería a la integral respecto de la medida de Lebesgue. Tampoco sabía que se pudiera construir sin hacer referencias a medidas.

Ese "no" presupone que al hablar de "medidas" nos referimos a medidas numerablemente aditivas. Del mismo modo que la integral de Lebesgue puede definirse a partir de la medida de Lebesgue, la integral de Riemann puede definirse a partir de la medida de Jordan, pero ésta es una medida finitamente aditiva, por eso no contradice al "no" de la referencia que das. Así, un conjunto es medible Jordan si y sólo si su función característica es integrable Riemann.
Vale ahora lo he entendido. Revisando los apuntes de primero de carrera he visto que me definieron la medida de Jordan pero no hicimos nada más con ella así que nunca le presté demasiada atención.

No hay ningún agujero. La integral de Lebesgue está definida para funciones definidas sobre intervalos no acotados, mientras que la integral de Riemann propia sólo está definida en intervalos acotados. Por eso en el caso de la integral de Lebesgue no hay diferencia entre integrales propias o impropias.
Con lo del agujero me refiero a que hay funciones integrables en sentido impropio pero al no ser absolutamente convergentes pues no son integrables en el sentido de Lebesgue (respecto de la medida de Lebesgue). Por ejemplo la integral de la función \( \sin(x)/x \) entre infinito y menos infinito. Es por eso que la integral de Lebesgue no es una generalización perfecta de la integral impropia. Por lo que dices entiendo que la integral de Lebesgue respecto a una medida arbitraria sí cubre el caso de funciones integrables en sentido impropio pero no absolutamente convergentes. ¿Es correcto?

En cuanto a generalizaciones, la integral de Lebesgue en el sentido general, es decir, no el de la integral respecto de la medida de Lebesgue, sino de la integral respecto de una medida arbitraria, ya es una generalización muy amplia. No sé si tu pregunta quiere ir más allá o no estás teniendo esto en cuenta.
Cuando he preguntado me refería a generalizaciones que usaran el concepto de medida así que ya me lo has dejado claro pero por tu respuesta deduzco que aún se puede ser más general. Imagino que es largo de explicar así que con que me des algún nombre concreto de integral aun más general ya me está bien. Solo es por saber de su existencia.

04 Septiembre, 2015, 04:59 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Ignoraba que se pudiera hablar de integral de Lebesgue respecto de una medida arbitraria. Tal como me lo han enseñado me refería a la integral respecto de la medida de Lebesgue.

Mira, por ejemplo, aquí (sección 7.3).

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf

Tampoco sabía que se pudiera construir sin hacer referencias a medidas.

Aquí tienes el primer ejemplo que he encontrado en la red en el que lo hacen así:

https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnilifolder/lnili.html

Con lo del agujero me refiero a que hay funciones integrables en sentido impropio pero al no ser absolutamente convergentes pues no son integrables en el sentido de Lebesgue (respecto de la medida de Lebesgue). Por ejemplo la integral de la función \( \sin(x)/x \) entre infinito y menos infinito. Es por eso que la integral de Lebesgue no es una generalización perfecta de la integral impropia. Por lo que dices entiendo que la integral de Lebesgue respecto a una medida arbitraria sí cubre el caso de funciones integrables en sentido impropio pero no absolutamente convergentes. ¿Es correcto?

No, no veo que cambiar de medida aporte nada a ese respecto. El caso es que el fenómeno que citas en relación con \( (\sen x)/x \) no es una imperfección de la medida de Lebesgue. Lo cierto es que las montañitas de esa función suman un área finita, y el hecho de que sea integrable Riemann impropia es más bien una imperfección de la integral de Riemann, que deja que las partes negativas compensen a las positivas. La integral de Lebesgue tiene la propiedad de que una función es integrable si y sólo si lo es su módulo, y por eso la función que citas tiene integral infinita, pero eso no es ningún defecto.

Cuando he preguntado me refería a generalizaciones que usaran el concepto de medida así que ya me lo has dejado claro pero por tu respuesta deduzco que aún se puede ser más general. Imagino que es largo de explicar así que con que me des algún nombre concreto de integral aun más general ya me está bien. Solo es por saber de su existencia.

No, no quería decir que se pudiera ser más general. No conozco ninguna clase de integral que no pueda interpretarse como una integral de Lebesgue respecto de una medida adecuada (sin contar, claro, las integrales más débiles, como la de Rieman, o la de Rieman-Stieljes, pero no creo que puedan catalogarse como las "generalizaciones" por las que preguntas), pero tampoco es que yo sepa mucho de análisis funcional. Igual hay algo que no conozca.

Te preguntaba si ya tenías en cuenta que cualquier medida define una integral por si eso ya respondía a tu pregunta.

05 Septiembre, 2015, 12:07 pm
Respuesta #4

Weip

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Mira, por ejemplo, aquí (sección 7.3).

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf
Gracias por el enlace. En clase me explicaron lo mismo pero usando la medida de Lebesgue. Por lo que veo ya me lo podrían haber explicado para una medida arbitraria porque casi casi es coger mis apuntes y sustituir "medida de Lebesgue" por "medida" a secas. Viendo tu libro he visto una cosa que quiero comentar. Al principio de la página 261 dices: "Más adelante veremos que es posible definir una única medida en \( \mathbb{R} \) de modo que \( \mu([a, b])=b-a \). La integral asociada a esta medida coincide con la integral de Riemann sobre las funciones en las que está definida". Esto es lo quería decir en mi primer mensaje con "Lo que pienso es que la supuesta "medida de Riemann" podría ser la medida de Lebesgue de un intervalo". ¿La medida \( \mu \) de tu libro es de Jordan entonces? Y por lo tanto es de Lebesgue, porque la de Jordan es un caso particular de la de Lebesgue ¿no? Seguramente esto esté explicado en tu libro pero como solo pone que "Más adelante veremos que..." pues no he conseguido encontrar la página exacta.

Aquí tienes el primer ejemplo que he encontrado en la red en el que lo hacen así:

https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnilifolder/lnili.html
Mmm me cuesta verlo porque aunque no se hace referencia explícita a las medidas realmente le está asignando al intervalo \( (x_{k-1}, x_k) \) el real \( x_k-x_{k-1} \). En vez de ayudarse de las medidas ¿hace uso de la estructura de espacio métrico y en realidad calcula una distancia?

No, no veo que cambiar de medida aporte nada a ese respecto. El caso es que el fenómeno que citas en relación con \( (\sen x)/x \) no es una imperfección de la medida de Lebesgue. Lo cierto es que las montañitas de esa función suman un área finita, y el hecho de que sea integrable Riemann impropia es más bien una imperfección de la integral de Riemann, que deja que las partes negativas compensen a las positivas. La integral de Lebesgue tiene la propiedad de que una función es integrable si y sólo si lo es su módulo, y por eso la función que citas tiene integral infinita, pero eso no es ningún defecto.
Aquí me has dejado frío. Es que en mi cabeza cualquier generalización razonable de la integral impropia debería cubrir este tipo de casos. Tendré que pensarlo más para comprender el porqué de esto. Que ya me lo estás diciendo tú, pero es que no me entra en la cabeza.

No, no quería decir que se pudiera ser más general. No conozco ninguna clase de integral que no pueda interpretarse como una integral de Lebesgue respecto de una medida adecuada (sin contar, claro, las integrales más débiles, como la de Rieman, o la de Rieman-Stieljes, pero no creo que puedan catalogarse como las "generalizaciones" por las que preguntas), pero tampoco es que yo sepa mucho de análisis funcional. Igual hay algo que no conozca.
No sé yo pensaba que habría alguna generalización para conjuntos raros o algo así pero realidad ya estoy satisfecho con comprender la relación entre las medidas y las integrales.

Te preguntaba si ya tenías en cuenta que cualquier medida define una integral por si eso ya respondía a tu pregunta.
No, no lo sabía. Cuando me enseñaron la medida de Lebesgue lo pensé. El problema es que de teoría de la medida no he hecho casi nada (lo justito para hacer cálculo integral) y pudiera ser que existieran infinitas medidas posibles y entonces era posible que lo que pensaba no tuviera sentido. Esto da pie a la duda (será ya la última, creo) ¿existen infinitas medidas en algún conjunto? ¿y distancias?

05 Septiembre, 2015, 01:12 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Al principio de la página 261 dices: "Más adelante veremos que es posible definir una única medida en \( \mathbb{R} \) de modo que \( \mu([a, b])=b-a \). La integral asociada a esta medida coincide con la integral de Riemann sobre las funciones en las que está definida". Esto es lo quería decir en mi primer mensaje con "Lo que pienso es que la supuesta "medida de Riemann" podría ser la medida de Lebesgue de un intervalo". ¿La medida \( \mu \) de tu libro es de Jordan entonces?  Y por lo tanto es de Lebesgue, porque la de Jordan es un caso particular de la de Lebesgue ¿no? Seguramente esto esté explicado en tu libro pero como solo pone que "Más adelante veremos que..." pues no he conseguido encontrar la página exacta.

El "más adelante" es el teorema 7.33 y la medida \( \mu \) a la que me refiero es la medida de Lebesgue, y lo que digo es que la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann sobre las funciones integrables Riemann.

No puedes decir que "la supuesta medida de Riemann es la medida de Lebesgue en un intervalo" porque la integral que obtienes cuando partes de la medida de Lebesgue en un intervalo es la integral de Lebesgue en ese intervalo, de modo que no obtienes las funciones integrables Riemann, sino ésas y muchas otras. Si partes de la medida de Jordan y construyes una integral a partir de ella, lo que te sale es exactamente la integral de Riemann, es decir, que las funciones integrables que obtienes son justo las integrables Riemann y ninguna más.

Mmm me cuesta verlo porque aunque no se hace referencia explícita a las medidas realmente le está asignando al intervalo \( (x_{k-1}, x_k) \) el real \( x_k-x_{k-1} \).

Hombre, claro. La medida de un intervalo \( [a,b] \) tiene que ser \( b-a \) te pongas como te pongas. No he leído esa página con detalle, pero supongo que hará lo que se suele hacer desde ese enfoque: definir la integral de una función escalonada definida sobre intervalos como la suma de los productos de la longitud de cada intervalo por el valor constante de la función en dicho intervalo (eso es lo mismo que la integral Riemann), luego se define la integral de una función positiva que sea límite puntual de funciones escalonadas como el límite de las integrales de dichas funciones (probando que es independiente de la sucesión que elijas). Aquí ya vas mas allá de la integral Riemann, porque los límites puntuales de funciones integrables Riemann no tiene por qué ser integrable Riemann. Y, por último, defines la integral de una función arbitraria como la diferencia de la integral de su parte positiva menos la integral de su parte negativa (supuesto que ambas partes sean integrables, lo cual es la condición de integrabilidad Lebesgue).

Creo que puede decirse "honestamente" que no se usa teoría de la medida, pues no hablas para nada de medidas, álgebras ni nada de todo eso. Usas simplemente que la longitud de un intervalo debe ser la diferencia entre sus extremos y usas casos particulares de los teoremas de convergencia (monótona, dominada) que debe cumplir la integral como parte de la definición. Es menos natural, pero más económico en cuanto a medios necesarios.

En vez de ayudarse de las medidas ¿hace uso de la estructura de espacio métrico y en realidad calcula una distancia?

Eso es demasiado amplio como para decir si es verdadero o falso. Lo que se hace es definir la integral de una función escalonada como su integral de Riemann y luego definir las integrales de funciones más complejas mediante pasos al límite usando funciones escalonadas que converjan puntualmente a ellas, con algunos tecnicismos de por medio, como que es necesario trabajar por separado con la parte positiva y negativa. También es necesario definir previamente los conjuntos nulos para poder decir cuando convenga "salvo en un conjunto nulo".

Aquí me has dejado frío. Es que en mi cabeza cualquier generalización razonable de la integral impropia debería cubrir este tipo de casos. Tendré que pensarlo más para comprender el porqué de esto. Que ya me lo estás diciendo tú, pero es que no me entra en la cabeza.

Bueno, cualquier discusión sobre qué es más perfecto y qué es menos perfecto es subjetiva. Si no te gusta que \( \sen x/x \) no sea integrable Lebesgue y piensas que "debería serlo", no hay argumentos para contradecir un "debería". Lo que trataba de explicarte es que el hecho de que esa función sea integrable Riemann no depende sólo del área entre su gráfica y el eje, sino también del orden de las "montañitas" positivas y negativas. Podemos definir una función f que coincida con \( \sen x/x \) salvo por el hecho de que sus montañitas aparecen en otro orden y de modo que no sea integrable Riemann impropia. La integral de Lebesgue es independiente de ese tipo de permutaciones, y en ese sentido es más "objetiva".

No sé yo pensaba que habría alguna generalización para conjuntos raros o algo así pero realidad ya estoy satisfecho con comprender la relación entre las medidas y las integrales.

No sé si eres consciente de lo "raros" que pueden llegar a ser los conjuntos medibles Lebesgue. No sé si hay que entender tus palabras como que no preguntas por una generalización del concepto de integral, sino con la posibilidad de definir una medida sobre una familia más amplia de conjuntos que la de los conjuntos integrables Lebesgue. Si es así, con ello no estarías generalizando el concepto de "integral de Lebesgue abstracta" (para una medida arbitraria), sino simplemente aplicándola a una medida definida sobre un conjunto mayor.

La posibilidad de extender la medida de Lebesgue a una clase más amplia de conjuntos da lugar a unos problemas muy interesantes. La misma prueba de que existe un conjunto no medible Lebesgue implica que no es posible definir una medida sobre todos los subconjuntos de \( \mathbb R \) que sea invariante por traslaciones, y la existencia de tal media (sin que sea invariante por traslaciones) no es demostrable ni refutable a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Por otro lado, si renuncias al axioma de elección, es consistente que todos los subconjuntos de \( \mathbb R \) sean medibles Lebesgue.

En otra línea, sí que es posible definir una medida finitamente aditiva sobre todos los subconjuntos de \( \mathbb R \) o \( \mathbb R^2 \) invariante por traslaciones, pero ya no en \( \mathbb R^3 \). Sobre eso tengo un artículo en la revista del foro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70798.0

Por otra parte, los conjuntos que son imagen por una función continua de un conjunto de Borel se llaman analíticos o \( \Sigma_1^1 \), y todos ellos son medibles Lebesgue, sus complementarios se llaman coanalíticos o \( \Pi_1^1 \), y también son medibles Lebesgue, obviamente, por ser complementarios de conjuntos medibles, y las imágenes por funciones continuas de los conjuntos coanalíticos se llaman \( \Sigma_2^1 \), y ya es indecidible si son medibles Lebesgue, es decir, puede probarse que existen conjuntos \( \Sigma_2^1 \) que no son de los tipos anteriores, pero no es posible probar si todos ellos son medibles Lebesgue o si alguno no lo es.

Te preguntaba si ya tenías en cuenta que cualquier medida define una integral por si eso ya respondía a tu pregunta.
No, no lo sabía. Cuando me enseñaron la medida de Lebesgue lo pensé. El problema es que de teoría de la medida no he hecho casi nada (lo justito para hacer cálculo integral) y pudiera ser que existieran infinitas medidas posibles y entonces era posible que lo que pensaba no tuviera sentido. Esto da pie a la duda (será ya la última, creo) ¿existen infinitas medidas en algún conjunto? ¿y distancias?

Claro que existen infinitas medidas en un mismo conjunto. Por una parte están las medidas tontas en las que no estás pensando y probablemente me digas que son "trampa". Por ejemplo, entre las más tontas está

\( \delta_x(A)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x\in A\\ 0 & \mbox{si}& x\notin A\end{matrix} \)

Son medidas en las que hay puntos de medida positiva. Si descartamos éstas y otras similares, para cada función integrable Lebesgue \( f:\mathbb R\longrightarrow \left[0,+\infty\right[ \), puedes definir

\( \mu(A)=\int_A f\,dm \),

donde m es la medida de Lebesgue, y así tienes otra medida. De hecho, puede probarse que toda medida para la que los conjuntos nulos respecto de la medida de Lebesgue sean nulos también, es de esta forma.

Infinitas distancias también existen. Incluso infinitas distancias que hagan a los espacios métricos correspondientes no homeomorfos dos a dos.

05 Septiembre, 2015, 02:20 pm
Respuesta #6

Weip

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Bueno, cualquier discusión sobre qué es más perfecto y qué es menos perfecto es subjetiva. Si no te gusta que \( \sen x/x \) no sea integrable Lebesgue y piensas que "debería serlo", no hay argumentos para contradecir un "debería". Lo que trataba de explicarte es que el hecho de que esa función sea integrable Riemann no depende sólo del área entre su gráfica y el eje, sino también del orden de las "montañitas" positivas y negativas. Podemos definir una función f que coincida con \( \sen x/x \) salvo por el hecho de que sus montañitas aparecen en otro orden y de modo que no sea integrable Riemann impropia. La integral de Lebesgue es independiente de ese tipo de permutaciones, y en ese sentido es más "objetiva".
Vale ahora lo he entendido. Tienes razón, que la integral impropia de esa función exista es problema de la integral impropia, no es ningún agujero de la integral de Lebesgue.

No sé si eres consciente de lo "raros" que pueden llegar a ser los conjuntos medibles Lebesgue. No sé si hay que entender tus palabras como que no preguntas por una generalización del concepto de integral, sino con la posibilidad de definir una medida sobre una familia más amplia de conjuntos que la de los conjuntos integrables Lebesgue. Si es así, con ello no estarías generalizando el concepto de "integral de Lebesgue abstracta" (para una medida arbitraria), sino simplemente aplicándola a una medida definida sobre un conjunto mayor.

La posibilidad de extender la medida de Lebesgue a una clase más amplia de conjuntos da lugar a unos problemas muy interesantes. La misma prueba de que existe un conjunto no medible Lebesgue implica que no es posible definir una medida sobre todos los subconjuntos de \( \mathbb R \) que sea invariante por traslaciones, y la existencia de tal media (sin que sea invariante por traslaciones) no es demostrable ni refutable a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Por otro lado, si renuncias al axioma de elección, es consistente que todos los subconjuntos de \( \mathbb R \) sean medibles Lebesgue.

En otra línea, sí que es posible definir una medida finitamente aditiva sobre todos los subconjuntos de \( \mathbb R \) o \( \mathbb R^2 \) invariante por traslaciones, pero ya no en \( \mathbb R^3 \). Sobre eso tengo un artículo en la revista del foro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70798.0

Por otra parte, los conjuntos que son imagen por una función continua de un conjunto de Borel se llaman analíticos o \( \Sigma_1^1 \), y todos ellos son medibles Lebesgue, sus complementarios se llaman coanalíticos o \( \Pi_1^1 \), y también son medibles Lebesgue, obviamente, por ser complementarios de conjuntos medibles, y las imágenes por funciones continuas de los conjuntos coanalíticos se llaman \( \Sigma_2^1 \), y ya es indecidible si son medibles Lebesgue, es decir, puede probarse que existen conjuntos \( \Sigma_2^1 \) que no son de los tipos anteriores, pero no es posible probar si todos ellos son medibles Lebesgue o si alguno no lo es.
La verdad es que no, no soy muy consciente de cómo son los conjuntos medibles Lebesgue. El profesor ya nos dijo algo parecido pero como no dio ningún ejemplo pues... Lo que sí he leído es sobre el conjunto de Vitali y lo de que hay conjuntos que no son medibles Lebesgue si se asume el axioma de elección. El último párrafo no lo he acabo de entender por mi escaso nivel pero bueno me quedo con las últimas frases.

Claro que existen infinitas medidas en un mismo conjunto. Por una parte están las medidas tontas en las que no estás pensando y probablemente me digas que son "trampa". Por ejemplo, entre las más tontas está

\( \delta_x(A)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x\in A\\ 0 & \mbox{si}& x\notin A\end{matrix} \)

Son medidas en las que hay puntos de medida positiva. Si descartamos éstas y otras similares, para cada función integrable Lebesgue \( f:\mathbb R\longrightarrow \left[0,+\infty\right[ \), puedes definir

\( \mu(A)=\int_A f\,dm \),

donde m es la medida de Lebesgue, y así tienes otra medida. De hecho, puede probarse que toda medida para la que los conjuntos nulos respecto de la medida de Lebesgue sean nulos también, es de esta forma.

Infinitas distancias también existen. Incluso infinitas distancias que hagan a los espacios métricos correspondientes no homeomorfos dos a dos.
Esto me aclara muchas cosas. ¿Cuál sería la integral asociada de \( \delta_x(A) \)? O sea ¿sólo podría valer cero o uno? Lo he estado pensando pero no estoy muy seguro. Lo pregunto porque me gustaría ver algún ejemplo fuera de los que conozco que son los de Riemann y Lebesgue. Después el tema de una medida definida a través de una integral de Lebesgue no sé si lo acabo de ver. Por ejemplo si considero \( f(x)=2x \) y \( g(x)=x^2 \) yo puedo definir:

\( \mu_1(A)=\int_A f dm \)

\( \mu_2(A)=\int_A g dm \)

¿Y las dos medidas serían diferentes? Suponiendo que \( f \) y \( g \) son integrables Lebesgue y que \( A \) es medible.

Lo que no he citado es que lo he entendido (o al menos lo creo jajaja).

05 Septiembre, 2015, 02:32 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Esto me aclara muchas cosas. ¿Cuál sería la integral asociada de \( \delta_x(A) \)? O sea ¿sólo podría valer cero o uno?

\( \int f(x)\,d\delta_x=f(x) \).

Lo he estado pensando pero no estoy muy seguro. Lo pregunto porque me gustaría ver algún ejemplo fuera de los que conozco que son los de Riemann y Lebesgue. Después el tema de que una medida definida a través de una integral de Lebesgue no sé si lo acabo de ver. Por ejemplo si considero \( f(x)=2x \) y \( g(x)=x^2 \) yo puedo definir:

\( \mu_1=\int_A f dm \)

\( \mu_2=\int_A g dm \)

¿Y las dos medidas serían diferentes? Suponiendo que \( f \) y \( g \) son integrables Lebesgue y que \( A \) es medible.

No tienes que suponer que f y g son integrables. Toda función continua es integrable en todo conjunto medible acotado. En cuanto a si son diferentes, sabes calcular perfectamente \( \mu_1([0,1]) \) y \( \mu_2([0,1]) \), mira si dan lo mismo o no.

05 Septiembre, 2015, 03:33 pm
Respuesta #8

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Esto me aclara muchas cosas. ¿Cuál sería la integral asociada de \( \delta_x(A) \)? O sea ¿sólo podría valer cero o uno?

\( \int f(x)\,d\delta_x=f(x) \).

Lo he estado pensando pero no estoy muy seguro. Lo pregunto porque me gustaría ver algún ejemplo fuera de los que conozco que son los de Riemann y Lebesgue. Después el tema de que una medida definida a través de una integral de Lebesgue no sé si lo acabo de ver. Por ejemplo si considero \( f(x)=2x \) y \( g(x)=x^2 \) yo puedo definir:

\( \mu_1=\int_A f dm \)

\( \mu_2=\int_A g dm \)

¿Y las dos medidas serían diferentes? Suponiendo que \( f \) y \( g \) son integrables Lebesgue y que \( A \) es medible.

No tienes que suponer que f y g son integrables. Toda función continua es integrable en todo conjunto medible acotado. En cuanto a si son diferentes, sabes calcular perfectamente \( \mu_1([0,1]) \) y \( \mu_2([0,1]) \), mira si dan lo mismo o no.
Vale ahora lo he entendido todo. De todas formas imagino que en futuras asignaturas de análisis funcional me lo explicarán todo al detalle. Efectivamente las medidas podría calcularlas yo, es que no lo he pensado. Dan diferente así que son medidas distintas. Pues no tengo ninguna duda más, gracias por la ayuda.