¿se podría decir que es indecidible una ecuación diofántica E para la que se cumple:
Dadas infinitas proposiciones \( P_1, P_2, ...., P_n, ... \), e infinitos enteros positivos \( 0 < k_1 < ... < k_n < ... \)
a) Por cada posible solución \( x=(x_1,...x_m) \) de E existe una y solo una proposición que es cierta.
b) E tiene solución si \( P_1 \) es cierta o bien si no lo es y lo es \( P_2 \), o bien si esta no lo es y lo es \( P_3 \) y así sucesivamente para todo \( n \in{N} \), y para cada n \( P_1, P_2,... P_n \) son falsas.
c) En cada paso n no se obtiene contradicción
d) En cada paso n las tuplas \( (x_1,...,x_m) \) de enteros tales que \( x_i < k_n \) no son solución
No acabo de entender la estructura lógica de lo que planteas, pero aun así, la condición d) es problemática, pues supone que puedes saber que en ninguno de los infinitos pasos encontrarás una contradicción. El problema de un planteamiento de ese tipo es que tú (o tu ordenador) puede ir dando pasos y más pasos, pero si resulta que \( P_1 \) sale falsa, y luego \( P_2 \) sale falsa, y así sucesivamente, sin contradicciones, no tienes por qué llegar a saber nunca si algún día llegarás a una \( P_n \) verdadera, o contradictoria o si nunca pasará ni lo uno ni lo otro. Sin más precisiones, lo que planteas no parece diferente del "método" de enumerar todas las posibles soluciones e ir probándolas una a una, a ver si alguna cumple la ecuación. Eso no puede considerarse un método de resolución porque si hay solución termina encontrándola, eso es cierto, pero si tarda en salir, no sabemos si es porque está lejos o porque no la hay.
Por otra parte, nada impide a priori que tu método proporcione una sucesión de comprobaciones que den como resultado "falsa y sin contradicción" y otro argumento completamente distinto permita probar que la ecuación que estás considerando no tiene solución.
