No había visto yo este post.
Hay que darse cuenta de que el concepto de derivada es muy probablemente anterior al concepto de diferencial, aunque parezca imposible. Para Newton -cuando inventa por su lado el cálculo sin saber nada del trabajo de Leibnitz- la derivada es la función tangente, y, por tanto, para él es una razón, un cociente trigonométrico. Según Westfall, uno de los mejores biógrafos de Newton, el matemático inglés empieza antes a trabajar sobre ello que el alemán -aunque Westfall es inglés y a lo mejor no es objetivo del todo- y un tiempo después es cuando Leibnitz define o crea por primera vez el concepto de función matemática; Newton no sabía lo que era f(x) cuando inventa el cálculo; más tarde, cuando supo de los diferenciales que utilizaba Leibnitz, él agrega sus fluxiones al trabajo que tenía hecho (en mi opinión fue así, aunque los ingleses defienden que ya las usaba al principio, pero lo cierto es que no hay prueba palpable de ello más que el testimonio de Newton, el cual odiaba a Leibnitz y hacía y deshacía a su antojo en la Royal Society; por tanto no hay que fiarse ).
Pero sí que es bastante seguro, por no decir seguro del todo, que Newton empieza a trabajar antes con derivadas que Leibnitz; por puara necesidad para formular su teoría sobre la gravedad.
Por tanto, la derivada ya existe cuando aún no existía el concepto de función matemática; luego todavía no se podía haber formulado algo como esto:
\( f(x+y)=f(x)+f(y) \)
Eso vino después, o al menos vino después la formulación de esa idea, la idea en sí misma quizá podría existir bajo otro enfoque.
Sobre el tema de sí la derivada es un cociente de diferenciales o no habría que justificar las afirmaciones ciñéndose cada cual a sus porqués, porque, si no, es imposible ponerse de acuerdo.
Vamos a ver qué dice el diccionario sobre lo que es un cociente:
cociente.
(Del ant. cuociente, y este del lat. quotĭens, -entis, de quot, cuantos).
1. m. Mat. Resultado que se obtiene al dividir una cantidad por otra, y que expresa cuántas veces está contenido el divisor en el dividendo.
O sea, lo define como una proporción, como una razón matemática: no dice que un cociente deje de ser cociente por la forma de ser operado, no dice que esté referido necesariamente a una unidad ni a unas cantidades definidas ni grandes ni pequeñas, no dice que deba tratarse de números de tal o cual conjunto... así que, de momento, nihil obstat
Vemos como se define la función tangente:
1. f. Mat. Parte de la recta tangente al extremo de un arco, comprendida entre este punto y la prolongación del radio, considerado como unidad, que pasa por el otro extremo y que equivale al cociente entre el seno y el coseno.
Dice el "cociente" entre el seno y el coseno"; y una vez más no dice nada de cómo operar para llegar a la tangente ni dice que si los valores no son finitos o determinados o lo que sea, deje de ser una tangente.
Luego la derivada, al menos la primera derivada, al ser una tangente es un cociente, y ése cociente se expresa de distintas formas; una de ellas es \( df(x)/dx \).
Creo recordar que Spivak, en el Calculus, decía algo así como "no es exactamente un cociente"; pero no decía taxativamente que no era un cociente, creo recordar; quizá venga de esa cita -y otras parecidas que puedan aparecer en otros libros de texto célebres- la reticencia a decir que no es un cociente, o quizá porque haya un cierto miedo, por parte de los profesores, a que los alumnos aún no maduros interpreten que se puede operar tal cual, como si fuera un cociente entre números definidos.
Saludos.
