[Luis Fuentes]

Hola

 No pretendo reabrir el debate a no ser que alguno seamos capaces de decir algo nuevo. Sino estaremos dando vueltas en círculo. Mis conclusiones:

 1) Yo doy clase de álgebra y veo que estoy desconectado de los problemas de los estudiantes con  los direrenciales.

 2) Para ser sincero soy incapaz de imaginarme a un estudiante preguntando "¿la derivada es un cociente de diferenciales?". Yo le diría... ¿y a qué estás llamando diferencial?. Quiero decir que para mi el lío está en el concepto de diferencial o de elemento diferencial o como le queráis llamar. Si me lo imagino preguntando. ¿qué es realmente un diferencial?. Lo del cociente y eso... no lo veo.

 3) Tu presentas las concepciones i ) y ii) como desligadas. Se que sabes que no lo son, pero tiendes a presentarla así. Digamos que donde tu ves desventaja yo veo ventaja; hay varias interpretaciones de lo mismo que funcionan bien en muchos casos y es muy fácil explicar porque están relacionadas: GENIAL!!!!. Que en algunos casos usar cierta notación a lo loco da problemas...si... Pero yo me congratulo más de los casos en que las cosas si funcionan bien... que en los que hay que tener cuidado.

Saludos.

[Jabato]

Pues yo lo siento pero si voy a reabrir el debate porque creo que la pregunta del millón quedó sin contestar y además tengo cosa nuevas que añadir. Nos centramos antes en temas relacionados con el diferencial, el diferencial segundo y n-simo y éste no era el motivo del debate. La pregunta del millón era exactamente "que es un elemento diferencial" y claramente esa pregunta quedó sin contestar.

La idea de elemento diferencial no se usa en matemáticas, al menos eso creo, ya que volvemos a insistir, no parece que exista una definición formal de tal cosa. Dicha idea tiene su origen, en mi opinión, en las ciencias aplicadas, y trataré de explicar aquí que es lo que yo entiendo por "elemento diferencial" a ver si es posible establecer el concepto con claridad y de forma sencilla, procurando que haya una interpretación intuitiva pero también una definición clara, lo suficientemente precisa para que un estudiante con conocimientos elementales de matemática pueda entenderlo.

Vamos primero el uso que de ellos se hace en física, por ejemplo, ya que es un tema que conozco bién, y veremos a continuación el fundamento matemático en que se basa dicha utilización si es que existe tal fundamento.

Supongamos un espacio \( R^3 \) para simplificar conceptos, y admitamos un campo escalar \( \Phi (x, y, z) \) y uno vectorial \( \mathbf {F}(x, y,z) \) y ahora veamos cuales son los elementos que habitualmente se utilizan:

De dimensión 1: Son dos, \( \mathbf{dr} \) y \( \mbox ds \), el primero es vectorial y representa el vector que une dos puntos muy próximos y el segundo es escalar y se supone representa el módulo del anterior. En general se asimila a ambos como elementos (pedazos compactos) de una determinada curva y se utilizan para la resolución de integrales curvilineas.

Todas las combinaciones posibles del producto (incluidos productos escalares y vectoriales) de uno de los campos definidos antes con uno de estos elementos generará un "elemento diferencial".

Los casos posibles son entonces:

(1)   \( \Phi (x, y, z)\cdot \mathbf{dr} \)

(2)   \( \Phi (x, y, z)\cdot \mbox{ds} \)

(3)   \( \mathbf {F}(x, y,z)\cdot \mathbf{dr} \)

(4)   \( \mathbf {F}(x, y,z)\times \mathbf{dr} \)
 
(5)   \( \mathbf {F}(x, y,z)\cdot \mbox{ds} \)

y la integración de estos "elementos diferenciales" se producirá en general a lo largo de una curva.


De dimensión 2: Son dos, \( \mathbf{da} \) y \( \mbox da \), el primero es vectorial y representa el vector perpendicular a un elemento muy pequeño de una superficie y el segundo es escalar y se supone representa el módulo del anterior. En general se asimila a ambos como elementos (pedazos compactos) de una determinada superficie y se utilizan para la resolución de integrales de superficie.

Todas las combinaciones posibles del producto (incluidos productos escalares y vectoriales) de uno de los campos definidos antes con uno de estos elementos generará un "elemento diferencial".

Los casos posibles son entonces:

(6)   \( \Phi (x, y, z)\cdot \mathbf{da} \)

(7)   \( \Phi (x, y, z)\cdot \mbox{da} \)

(8)   \( \mathbf {F}(x, y,z)\cdot \mathbf{da} \)

(9)   \( \mathbf {F}(x, y,z)\times \mathbf{da} \)
 
(10)   \( \mathbf {F}(x, y,z)\cdot \mbox{da} \)

y la integración de estos "elementos diferenciales" se producirá en general a lo largo de una superficie.

De dimensión 3: Es uno solo, \( \mbox {d\tau} \), de caracter escalar y se supone representa un elemento (pedazos compactos) de un determinado volumen y se utiliza para la resolución de integrales de volumen.

Todas las combinaciones posibles del producto (incluidos productos escalares y vectoriales) de uno de los campos definidos antes con uno de estos elementos generará un "elemento diferencial".

Los casos posibles son entonces:

(11)   \( \Phi (x, y, z)\cdot \mbox {d\tau} \)

(12)   \( \mathbf {F}(x, y,z)\cdot \mbox {d\tau} \)

y la integración de estos "elementos diferenciales" se producirá en general a lo largo de un volumen.

Tengo bastantes más cosas que decir al respecto, esto solo es una exposición para centrar el debate, y desde luego las "preguntas tontas" (sin respuesta) no han empezado todavía, pero interrumpo aquí el mensaje, solo de momento, por no alargarlo más, así que ...

Continuará, Jabato.

[Jabato]

Bueno continuo mi exposición interrumpida en el mensaje anterior. Los campos escalar y vectorial definidos en el mensaje anterior no plantean en principio dificultad alguna, son claros, pero los elementos sí que permiten plantear algunas preguntas. La versión "oficial" que consta en los libros de física habla de que dichos elementos son lo "suficientemente pequeños" para considerar que el campo respectivo es constante en todo el elemento de manera que no procede ya preguntar cual es el valor del campo que debe utilizarse para definir el elemento diferencial, ¡Bonita solución! Esa pregunta no procede ya, desde luego pero entonces hay otra que si procede:

¿Cual es el tamaño de dichos elementos? Según Euler y otros 0. Esto enlaza directamente con los infinitésimos y ya sabemos a donde nos conduce eso. En caso contrario la pregunta que procedería sería la otra:

¿Cual es el valor del campo que debe utilizarse para definir el elemento diferencial?

Otra pregunta, pretender relacionar esto con las n-formas diferenciables me plantea serias dudas ya que algunos de estos elementos son vectores, y por lo que yo sé dichas formas no adoptan expresiones vectoriales.

Y otra más, ¿el proceso de integración es el correspondiente a la integral de Riemann para más de una dimensión? ¿Como es posible si dicha integración no contempla intervalos compactos en forma vectorial?, salvo que una medida pueda adoptar un valor vectorial, lo cual me parece totalmente absurdo.

La interpretación vectorial de dichos elementos y su tamaño infinitésimal resultan bastante conflictivas y desde luego necesitarían una aclaración seria y sencilla. Yo tengo una interpretación personal de lo que son tales elementos pero la expondré más adelante.

Hay algunas preguntas más aunque continuaré en otro momento ya que ahora debo dejarlo.

Continuará, Jabato.  

[Jabato]

Bien sigo con la exposición. Analizaré ahora como se interpretan los elementos en los libros de física.

1º Supongamos una curva dada por sus ecuaciones paramétricas:

x = x(t)    y = y(t)     z = z(t)

Al realizar el incremento del parámetro t, a partir de un determinado valor, resulta barrida una porción de la curva, dicha porción se correspondería con el elemento correspondiente, que tendría dos interpretaciones posibles, la vectorial, \( \mathbf{dr} \),  sería el vector que une los puntos origen y extremo del elemento, y la escalar, \( \mbox {ds} \), el módulo de ese mismo vector.

2º Supongamos una superficie dada por sus ecuaciones paramétricas:

x = x(u,v)     y=y(u,v)     z = z(u,v)

Idéntica interpretación que antes pero con dos parámetros, los distintos elementos tienen ahora una determinada forma, estan delimitados por las curvas paramétricas, y existen también ahora dos posibles interpretaciones, la escalar y la vectorial. La primera daría la medida del elemento y la segunda sería un vector perpendicular al elemento y de módulo su medida. Aunque en este caso la interpretación vectorial admite dos supuestos, el vector apuntando hacia un lado y hacia el lado opuesto de la superficie lo que aumenta aún más la variedad de elementos.

3º Supongamos ahora un volumen dado por sus ecuaciones paramétricas:

x = x(u,v,w)     y=y(u,v,w)     z = z(u,v,w)

La interpretación en este caso es solo escalar, pero es análoga a las anteriores solo cambiando curvas paramétricas por superficies paramétricas.

Hay en este caso un comentario que hacer, los elementos de volumen definidos en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas que aparecen en todos los líbros de física responden a este tipo al considerar que la variedad coincide con todo el espacio. Las ecuaciones de transformación de cada tipo de coordenadas se interpretan así como las coordenadas paramétricas de la variedad.

Resultaría asi que para las ecuaciones paramétricas:

x = u     y = v      z = w

estaríamos reproduciendo los mismos intervalos compactos que se utilizan en la integral extendida de Riemann, ya que los elementos ahora son idénticos a los intervalos compactos de Riemann, delimitados por planos paralelos a los planos cartesianos, son los elementos de volumen de las coordenadas cartesianas.

Para las ecuaciones paramétricas:

x = uCos(v)      y = uSen(v)        z = w

estaríamos reproduciendo los elementos de volumen correspondientes a las coordenadas cilíndricas.

Y para el caso:

x = uSen(v)Cos(w)       y = uSen(v)Sen(w)      z =UCos(v)

estaríamos reproduciendo los elementos de volumen correspondientes a las coordenadas esféricas.

En los tres casos la variedad representada por dichas ecuaciones paramétricas se corresponde con todo el espacio R³.

Os incluyo un enlace a un documento que en su parte 3ª, punto 16 hace una descripción más detallada de lo que serían dichos elementos. Ni que decir tiene que dicho documento está avalado por una catedra de física y no de matemáticas, claro, como ya supondréis.

http://newton.javeriana.edu.co/tutoriales/vectorial/vector-3.pdf

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Bueno, seguiré un poco más con el asunto. La pregunta de si estos elementos diferenciales son ó no son infinitamente pequeños tiene una respuesta sencilla desde mi punto de vista, y esto es una opinión muy personal, no necesitan ser infinitamente pequeños, ya que basta con suponerlos de un tamaño relativamente pequeño y, a la hora de realizar la integración, el proceso de paso al límite se encarga de lo demás, es decir, a la hora de dar una definición de tales elementos bastaría con considerar que se ajustan a una porción de dominio comprendido entre dos valores próximos de los parámetros (pero no infinitamente próximos) que definen la variedad y eso es en principio suficiente.

Si estos elementos no son infinitesimales queda entonces por responder a la pregunta de cual es el valor del campo que debe considerarse para realizar tal definición. Esto, con mi versión, tampoco resulta problemático puesto que daría igual en principio. El valor sería el que tomara el campo en un punto cualquiera del elemento, uno cualquiera, ya que en el proceso de paso al límite ese punto acaba coincidiendo con el punto límite (el elemento se convierte en un punto al realizar dicho proceso).

Bien, consideraré que queda resuelto así el problema de averiguar si los elementos diferenciales son infinitamente pequeños ó no, la respuesta es clara para mi, no lo son, no necesitan serlo.

El segundo problema consiste en dar fundamento matemático a los elementos, en su interpretación escalar, al ser definidos con formas diversas, que quedan definidas por las ecuaciones paramétricas de la variedad. La generalización de la integral de Riemann a n-dimensiones utiliza elementos denominados "intervalos compactos" de forma prismática, y con una determinada medida, pero en este caso, cuando los elementos se definen como porciones de una variedad sería necesario justificar que dichos elementos presentan siempre una medida, son conjuntos medibles. No conozco si existe tal justificación aunque es presumible que pudiera hacerse, en caso de no existir.

Y por último, el tercer problema consiste en dar fundamento matemático a las sumas de Riemann cuando se realizan con elementos que tienen interpretación vectorial, me refiero basicamente a \( \mathbf{dr} \) y \( \mathbf{da} \). Que yo sepa dichas sumas no tienen fundamento matemático teórico, aunque tampoco estoy muy seguro de ello.

Por lo que a mi respecta si ambos problemas, la medida de estos elementos y las sumas de Riemann cuando la interpretación es vectorial, estuvieran resueltos ó pudieran resolverse, que presumiblemente si sería posible, todos los cálculos que se realizan alrededor de estos "elementos diferenciales" quedarían debidamente justificados, y no veo dificultad alguna en poderle explicarle este mismo cuento a los estudiantes de ciencias aplicadas, con un fundamento matemático suficiente, pero desde luego eso no es así hasta el momento, y cada vez que hablo con matemáticos sobre los "elementos diferenciales", un concepto que para mí es más que conocido, me miran asombrados y me preguntan ¿y eso que es? con lo que claro se queda uno espatarrado. Bien pues un elemento diferencial es esto que os he explicado, y la pregunta del millón ahora es la siguiente:

¿Tienen fundamento matemático estos elementos?

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Pues en mi pueblo dicen que el silencio resulta a veces más expresivo que una sinfonía, aunque yo diría que no es este el caso.

¿Nada que opinar al respecto? ¿No hay ningún matemático en esta web que pueda aclarame esta duda?

Saludos, Jabato.

[island in the darkness]

Estoy seguro que el_manco tiene algo que decir. No creo que 6 páginas de debate acaben con un silencio incómodo.

Salu2,

island in the darkness.

[Luis Fuentes]

Hola

 Como dije en mi conclusión pienso que mi formación me tiene estructurado o encasillado el cerebro de una forma, que no alcanza a entender bien tanto problema.

  Todo lo que has puesto Jabato, me parece bien, pero encuadra perfectamente en la teoría ya existente de formas diferenciales. Es decir, a mi no me inspira nada distinto de lo ya existente.

 Los elementos "de tipo vectorial" que tu llamas en lenguaje de formas diferenciales pueden expresarse combinaciones lineales de formas diferenciales linealmente independientes sobre el cuerpo de funciones (por ejemplo):

\(  f(x,y)dx+g(x,y)dy \)

 Sobre ella existen las operaciones equivalentes a producto escalar, vectorial, además de un producto exterior, integración  y otras cosas...

 En realidad el considerar un elemento diferencial pequeño grande o mediano, es más una cuestión filosófica que práctica. La cosa es que en el 90% de los casos la "gracia" de estos elementos es integrarlos, para recuperar información global a partir de informaciones locales. Y ahí necesitamos coger muchos trocitos muy pequeños. Por eso no veo malo tenerlos conceptualizados como algo pequeeño (pero sin fanatismo... con mente abierta a otras interpretaciones).

 En cuanto a si los matemáticos miramos asombrados preguntando ¿qué es?. Cuando island inició el debate, di dos respuestas, una intuitiva (en realidad, nada novedosa, la típica: trocitos de bla bla bla) y otra formal (formas diferenciales).

Saludos.

[Jabato]

Si es cierto que generalicé un poco cuando dije "los matemáticos", debí decir algunos matemáticos, que se agarran al formalismo de una forma a veces excesiva, pero bueno sigamos. Creo qu tú no eres de esos, cierto también.

Si yo no estoy equivocado una forma diferenciable tomará valores reales, corrígeme si me equivoco, y cuando la interpretación del elemento diferencial es vectorial, ¿como se puede identificar esto con una forma diferencial? Esto ocurre el los tipos (1), (4), (6), (9), (10) y (12) que expuse anteriormente y no hay encaje posible, salvo que yo ande muy equivocado.

Por otra parte pienso que la razón básica para que dichos elementos diferenciales se destierren del mundo de la matemática es su carácter infinitesimal, fué Leibniz si no estoy equivocado el que los ideó ó descubrió dándoles dicho carácter, cierto, pero aquello pasó a la historia y hoy en día existen herramientas suficientes para evitar tales problemas, la definición moderna de límite sobre todo, y ya has visto como es posible dar una interpretación de tales elementos que evite tal consideración, con las enormes ventajas que entiendo aportaría un reconocimiento por parte de la comunidad matemática de tales elementos y su formalización posterior, en el uso de la enseñanza sobre todo, dada la gran carga intuitiva del concepto, ya que no se puede negar que presentan esa cualidad y de forma muy intensa además.

¿Debo entender por otro lado que consideras que tales elementos tienen una base matemática suficiente y que es correcto desde el punto de vista más formal el utilizarlos en la forma que expliqué? Si eso es así ¿porqué no existen en el seno de la matemática? ¿Que impedimento existe para que los matemáticos los utilicen también?

No lo entiendo, de veras que no lo entiendo.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

Si yo no estoy equivocado una forma diferenciable tomará valores reales, corrígeme si me equivoco, y cuando la interpretación del elemento diferencial es vectorial, ¿como se puede identificar esto con una forma diferencial? Esto ocurre el los tipos (1), (4), (6), (9), (10) y (12) que expuse anteriormente y no hay encaje posible, salvo que yo ande muy equivocado.

Si, dicho de manera "gruesa" la integral de una forma diferencial es un número. Pero si uno quiere una integral vectorial, no tiene más que introducir una base e intergar las coordenadas, cada una de ellas números. Formalmente, corresponde a trabajar en la suma libre de espacios vectoriales de formas diferenciales.

En realidad si te fijas tampoco aparecen demasiado en la literatura integrales cuyo resultado sea un vector. El problema está en que si uno quiere extender eso a variedades distintas de \( R^n \), hay que ser muy cauteloso porque éstas no tienen estructura de espacio vectorial. Entonces cuando se integra un campo vectorial se habla más bien de curvas integrales. Estas localmente juegan el papel de una base en un espacio vectorial (p.ej, los paralelos y los meridianos en una esfera) permitiéndo expresa otra curva integral en función de ella.

dar una interpretación de tales elementos que evite tal consideración, con las enormes ventajas que entiendo aportaría un reconocimiento por parte de la comunidad matemática de tales elementos y su formalización posterior, en el uso de la enseñanza sobre todo, dada la gran carga intuitiva del concepto, ya que no se puede negar que presentan esa cualidad y de forma muy intensa además.

Quizá el problema es que los intentos de formalización que se han hecho hasta ahora son demasiado "caros". Digamos que al intentar dar rigurosidad a la idea, uno se termina complicando demasiado. Eso sigue sin interesar al físcio o al ingeniero, y por otro lado el matemático se siente cómodo en sus formas diferenciales.

En realidad si uno trabaja sólo en \( R^3 \), los matemáticos tampoco usamos formas diferenciales en su expresión "más dura". Basta el cálculo diferencial e intergral elemental en varias variables y un poquito de álgebra multilineal para poder manejar todos esos "elementos diferenciales". Simplemente detallamos más las cosas: p.ej.cuando componemos funciones explicitamos la composición; detallamos el teorema de cambio de variable del cálculo integral.

En general una integral de línea es integral una 1-forma, una de superficie una 2-forma, una de volumen una 3-forma. Las n-formas se obtienen como producto exterior de 1-formas. En \( R^3 \) esto equivale a que as 2-formas y 3- formas se obtienen con el producto vectorial y mixto, y de ahí se ve rápidamente la equivalencia con los distintos tipos de integrales que has puesto.

¿Debo entender por otro lado que consideras que tales elementos tienen una base matemática suficiente y que es correcto desde el punto de vista más formal el utilizarlos en la forma que expliqué? Si eso es así ¿porqué no existen en el seno de la matemática? ¿Que impedimento existe para que los matemáticos los utilicen también?

En realidad entiendo tu queja, aunque parte de la explicación está en lo que puse en negrita. El hecho de que no se usen en matemáticas y si en física e ingeniería, es el distinto objetivo de una y otra disciplina; por lo mismo que en mi experiencia, suele integrar ,mejor un ingeniero o un físico que un matemático; los primeros calculan integrales los segundos estudian si una función es o no integrable (en fin esto es una visión simplificada...).

Siendo más concreto si vamos a tu definición de "elemento diferencial", parece que te refieres a tomar trozos compactos de una variedad multiplicados por el valor de una funcón en un punto cualquiera de los mismos (corrígeme si me equivoco...).

El problema es que esto en el fondo es bastante "difuso". Cuando uno escribe "dS" ¿está entendiendo un trozo compacto concreto? ¿Si escirbo dos "dS" distintos se refieren a trozos distintos?, ¿Cómo los escribo?.¿Con subíndices? ¿Cómo los opero?. Lo que me refiero es que tu interpretación de esos elementos diferenciales, me parece más filosófica, intuitiva, que efectiva. A no ser que se concrete más. Y cuando se intenta concretar más...pues la cosa se complica... no es que se haga dificil... simplemente que ya no es tan rápido dar su definición.. y como decía antes, la buena idea intuitiva, formalmente se encarece.

Bah, esto es más para hablar en persona que así. Se me hace prolijo.

Saludos.