Bueno, creo que ha llegado el momento de ir empezando a sacar conclusiones con vistas a, o bien dar por finalizado el tema o bien, como deja ver Jabato, seguir debatiendo.
En lo que a mí respecta, saco las siguientes concluciones "prácticas", en las que podéis o no podéis estar de acuerdo.
i) La derivada de una función es por definición, el límite del cociente incremental y a la función resultante (derivada) se le designa por "\( f'(x) \)", "\( Df(x) \)", "\( df(x)/dx \)" o bien si \( y=f(x) \), "\( y' \)", "\( Dy \)", "\( dy/dx \)". En todos los casos se leería "derivada de \( f \) respecto de \( x \)" o bien "derivada de \( y \) respecto de \( x \)" y en el último caso el símbolo "\( d/dx \)" se considera un operador y no denota ningún tipo de cociente.
ii) El diferencial de una función es por definición el producto de la derivada por el incremento de la variable independiente, es decir, \( df(x)=f'(x)\cdot{}dx \) o bien \( dy=y'\cdot{}dx \).
iii) Como consecuencia de i) e ii), se puede escribir por simple manipulación algebraica que:
\( f^{\prime}(x)=\frac{df(x)}{dx} \) o bien \( y'=\frac{dy}{dx} \)
Por tanto, una parte de mí (la más purista, formal, seria) se resiste a aceptar que sea como sea la derivada acaba escribiéndose y pudiéndose calcular (aunque en ningún caso se defina) como un cociente de diferenciales, bien entendido que el cálculo del diferencial "\( dy \)" SIEMPRE pasa por conocer cuál es la derivada, por la propia definición dada en ii). La otra parte de mí (la más ingenierial, física, pragmática), acepta sin dilación que efectivamente el cociente incremental a medida que se hace todo lo pequeño que se quiera (paso al límite) no es más que un cociente de "diferenciales" o "incrementos infinitesimales" relacionados entre sí (\( y \) depende de\( x \)) que intuitivamente y en el límite, repito, dan la idea de la derivada (pendiente de la recta tangente a la curva en el punto considerado).
Tras esta dicotomía conceptual, me doy cuenta que la única manera de poder definir el diferencial sin pasar por la derivada, el álgebra lineal o el análisis no estándar sería que el límite del cociente incremental "se pudiera", por propiedades de los límites, escribir como cociente de límites, en cuyo hipotético caso, el numerador sería el diferencial de la función y el denominador el diferencial de la variable independiente. Pero, lamentablemente y salvo que alguien demuestre lo contrario, esto no es posible ya que para ello el límite del denominador DEBE ser distinto de cero.
Y dicho esto, lo único que se me ocurre pensar es que por suerte o por desgracia en este negocio debemos se ser como los camaleones, cuando queremos escribir con rigor matemático, no hay más castañas que aceptar y pregonar i); pero cuando estamos resolviendo un problema de física o ingeniería, tenemos que tener la conciencia bien tranquila de que al operar con los "diferenciales" multiplicándolos y dividiéndolos como "nos plazca" llegamos de hecho a buen puerto y a resultados realmente importantes para la historia de la humanidad: el fin justifica los medios.
Así que la próxima vez que un chaval me pregunte si la derivada es un cociente de difereciales le responderé que intuitivamente puede considerarse así, incluso puede calcularse así, pero no tendré más remedio que advertirle que la definición correcta es el límite del cociente incremental y que en lo estrictamernte matemático, se puede hablar de derivadas sin tener que hablar de diferenciales, pero no al revés. Después de esto, el chaval, pasará a ser
uno más de los mortales y en sus problemas de física o ingeniería jugará con los "diferenciales" como hacemos todos. Y si no, al tiempo.
Y como dijo Bogart, "siempre nos quedará París". En este caso, siempre nos quedará esta discusión.
island in the darkness.
PD: ¿Qué pasaría si el chaval fuera el mismísimo León, el tío Leonhard o el inquieto Gottfried?
