Hola
diferencial de una función es una cosa no debe aparecer como otra, debería ser lo mismo en todas partes. Salvo las generalizaciones ya mostradas
No se. Sigo diciendo que cuando definimos algo simplemente ponemos un nombre a un concepto. El usar el mismo nombre para conceptos distintos no es algo atípico en matemáticas. Algunos ejemplos:
- El caso más claro es el de los números naturales. Hay matemáticos serios que consideran en el 0 si lo es y otros también serios que no. Y bueno se convive bien.
- En álgebra lineal, ,hay autores que trabajan con filas y otros con columnas eso hace que las fórmulas cambién drásticamente, en la medida en que unas son las traspuestas de las otras. Si esto no se tiene en cuenta hay confusión.
- También en álgebral lineal, hay autores que llaman matriz de cambio de base de la base 1 a la 2 a aquella que relaciona los vectores de 1 en función de los de 2; otros los que dan la forma de cambiar las coordenadas. Es radicalmente distinto en cuanto que una es la inversa traspuesta de la otra.
- En topología hay gente que para la definición de entorno exige que el conjunto sea abierto; otro simplemente que contegna una abierto. De nuevo mismo nombre a cosas distintas.
si admitimos por definición que \( d^{(n)}y = y^{n}dx^n \) pues la conclusión lógica es inmediata y(n) = \( y^{n}=d^{(n)}y/dx^n \) pero eso no quiera decir que la derivada segunda se defina como un cociente, no lo es y nunca lo será, lo que sí puede definirse es el diferencial segundo como un producto, que en mi opinión no es lo mismo. Es lo mismo que pasa con el diferencial primero, exactamente lo mismo.
Que manía eh.... ¿Pero qué problema tendrán esos cocientes me pregunto?. No se muy bien que quieres decir con que la derivda segunda se defina o no como un cociente.
Por cierto con la notación introducida por yoyotzin la forma más correcta de escribir la expresión de la diferencial segunda sería:
\( d^2f(x)=f''(x)dx\otimes dx \)
(notación tensorial)
donde dx denota la apliación diferencial de la identidad. De ahí:
\( f''(x)=\displaystyle\frac{d^2f(x)}{dx\otimes dx} \)
donde el cociente es entre dos aplicacions bilineales, y esa fórmula nos dice que, fijado el punto x, se relacionan por una constante que es f''(x).
Lo bonito de esos cocientes es que nos recuerdan una posible definición de derivada y derivadas sucesivas. Cuando ponemos:
\( f'(x)=\displaystyle\frac{df(x)}{dx} \)
uno relaciona los diferenciales con incrementos pequeños y "recuerda" que la definición de derivada es:
\( f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta f(x)(\Delta x)}{\Delta x} \)
De igual forma cuando escribimos:
\( f^{n)}(x)=\displaystyle\frac{d^nfn(x)}{(dx)^n} \)
interpretando los diferenciales de como incrementos pequeños, uno "recuerda" que:
\( f^{n)}(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta^n f(x)(\Delta x)}{(\Delta x)^n} \)
que no es la definición usual de derivada enésima pero si una bonita caracterización equivalente.
Como mínimo, estos hechos me parece precisoso. En ese sentido la notación funciona bien.
Otra interpretación "chula" de la definición que di de diferencial k-ésima es que permite escribir la fórmula de Taylor de manera cómoda y para funciones de varias variables de manera unificada.
Simplemente hay que tener en cuenta que una apliación g k-lineal de \( R^n\times \ldots \times R^n \) en R tiene asociada una forma de grado k definida como:
\( \phi(v)=g(v,\ldots,v) \)
en nuestro caso de la diferencial k-ésima se le suele llamar igual (o en mayúsculas) a la forma de grado k asociada, que quedaría:
\( D^k(x)(v)=d^k(x)(v,\ldots,v) \)
De esta forma la fórmula de Taylor para una función de \( R^n \) en R se escribre como:
\( f(x+h)-f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{} \displaystyle\frac{1}{k!}D^k(x)(h) \)
Es fácil ver que particularizado a funciones de una variable queda el desarrollo de Taylor usual.
Digo esto para contextualizar un poco la definición que di de diferencial k-ésima y mostrar algunas de sus ventajas.
Pero debería haber una única forma de definir el diferencial segundo de una función
Ya dije que en matemáticas a veces hay polisemia. Pero en cualquier caso te he puesto varios enlaces (en concreto dos) donde el uso que hacen de diferencial segunda es el que digo. Si lo bueno para entenderse en matemáticas es poner los mismos nombres a las mismas cosas, dos puntos a favor de mi definición. Reitero aun asi que tu definición tampoco es desdeñable; incluso me parece especialmente bonita cuando uno trabaja con variedades diferenciables y sus sucesivos fibrados tangentes.
Aparte de lo confuso de la notación de Leibniz, y otras cuantas sutilezas más.
Si en eso estamos de acuerdo, esa notación ha de usarse con prudencia. Y sino ir a la notación estilo "matemático riguroso" pagando el peaje de cierta lentitud.
Saludos.
P.D. Otra referencia más donde definen el diferencial segundo y sucesivos (página 162).
http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/memdoc3.pdfFíjate que es totalemente recursiva cambiando sútilmente la interpretación que haces tu de la diferencial primera como función de dos variables. Allí interpreta la diferencial primera como función de una variable sobre el espacio de aplicaciones lineales, que se identifica con R. Y aplica sobre ésta la definición de diferencial primera. Es la que expuse en el apartado B.2.) de éste mensaje:
http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,8421.msg35053.html#msg35053Y de nuevo coincide con la que yo defiendo... otro punto más.
