[Jabato]

Si, estamos de acuerdo en que son aplicaciones, claro que lo son, pero una aplicación no es más que una correspondencia entre elementos de dos conjuntos, ¿podías decirme que conjuntos son esos y cual es la regla de correspondencia?

¿Son conjuntos de numeros reales?¿como se establece dicha correspondencia? Ve al grano por favor

Es cierto que son conjuntos de numeros reales ya que todas son aplicaciones en R, por lo tanto necesito que me digas como se obtiene esos numeros reales, ¿realizando una multiplicación a lo mejor?

[Robottero]

Hola amigos:
Oye Jabato, me parece que el Manco ya contestó a tus preguntas en el mensaje que está justo antes de este último.

dice que df(x) es una aplicación (que es una función) lineal. En otras palabaras

df(x): R----> R     h |----> f'(x)h

su imagen es claramente el producto de dos números reales, pero df(x) en si no es un número real, es una función lineal.... La correspondencia queda descritia así, tal cual, como el producto de la dervidada de f evaluada en el punto x, por el valor de h.

Y explica lo mismo para las diferenciales segundas etc...

Bueno, Sigo muy entretenido leyendo su debate =).

Robottero.

[Luis Fuentes]

Hola

 Hombre, Jabato, yo voy al grano pero tu también. Las respuestas a las últimas preguntas ya las sabes y  ya las he contestado en mi mensaje anterior. ¿A dónde quieres llegar a parar?.

 Si escribes:

 df(x)(dx)=f'(x)dx

 esto es el número f'(x) multiplicado por el número dx.

 ¡¡¡OJO¡¡¡ Ahí simplemente dx es un número. Por eso esa notación me parece HORRIBLE para manejar la aplicación diferencial como tal y yo INISISTO en usar la h. Digo que es HORRIBLE por que dx es un número, pero el llamarle "diferencial de x" nos está recordando por un lado que es una diferencia y por otro evoca  algo infinitesimal. Ese "doble juego" es el que luego trae el lío.

 Pero el lío SOLO de notación. En realidad repito simplemente que hemos dado dos visiones distintas de la diferencial segunda y no son contradictorias, sino simplemente dos cosas distintas.

Saludos.

[Jabato]

Clarísimo como la luz del día robotero, por lo que si dnf(x) se calcula como un producto pues entonces es perfectamente correcto interpretar la ecuación:

y(n) = dny/dxn

como un cociente, y eso es absolutamente falso, de lo que deducimos que esas expresiones para el diferencial n-simo también deben de serlo. Lo siento pero eso es exactamente así. Y si vuestras definiciones son correctas, que no tengo motivos para dudarlo, entonces existe contradicción con la definición de derivada ya que la derivada aparecería como un cociente (matematicamente una división de diferenciales n-simos, y eso es sencillamente absurdo.).

Saludos Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 Dios, Jabato, lo siento pero ahora si que no entiendo.

 Si se supone que ahí hay alguna contradicción en algo, también es válido para la diferencial primera.

 Tu coincides en que su expresión es esta:

 df(x)=f'(x)dx

 Y eso es un producto de f'(x) por la variable independiente dx.

 De ahí despejas dx y llegas a que se calcula como un cociente (¿un cociente de qué pregunto yo?). ¿Es
absolutamente falso? ¿Por qué? Entonces tampoco vale esa expresión. ¿O si vale?.

 Por otro lado lo que digo sobre la diferencial enésima es que aplicada a un mismo h o dx ene veces su expresión es:

\( d^n(f)(x)=f^{n)}(x)(dx)^n \)

 Donde ahí hay un producto y una multiplicación. ¿Eso lleva a alguna contradicción? No lo veo. Y si la hay, como he dicho también lo es para la diferencial primera. ¿O no?

Saludos.

[Jabato]

Pues vuelvo a repetir el argumento, una derivada n-sima no puede interpretarse como un cociente, eso es claro supongo, resulta que por la definicion de diferencial de una función, si se da el caso de que la diferencial primera es un producto y es correcto establecer que la derivada es una función que se puede obtener dividiendo el diferencial de la función por el diferencial de la variable, pero ya os expliqué que para calcular el diferencial segundo y sucesivos la definición que planteais no puede ser correcta si tampoco lo es plantear las derivadas sucesivas como un cociente, y por supuesto que dicha interpretación no es correcta.

Yo creo que mi explicación es muy clara, y no tiene doblez ni oscuridad alguna, es muy sencilla, si para calcular el diferencial podemos multiplicar para calcular la derivada debemos de poder dividir, y lo mismo para las derivadas n-simas, así de sencillo es mi argumento.

Saludos, Jabato.  

[Luis Fuentes]

Hola

 Se me han fundido los plomos por que no veo donde está el problema. Pero vamos a ver.

\(  d^2f(x)(dx,dx)=f''(x)dx^2 \)

 y de ahí:

\(  f''(x)=\displaystyle\frac{d^2f(x)(dx,dx)}{dx^2} \)

 ¿Dónde está el problema? Al igual que:

\(  f'(x)=\displaystyle\frac{df(x)(dx)}{dx} \)

 ¿Dónde está el problema?

 Si el problema al que aludes era el que voy a citar ahora, ya indiqué que con la notación bien utilizada no es tal problema. Me autocito:

P.D. Tu crítica a la notación usada por Island fue que operando con ella se llegaba a:

\( 0=\displaystyle\frac{d^2y}{dy^2}=\displaystyle\frac{y''}{(y')^2} \)

lo cual no tiene porque cumplirse para cualquier función y. Así que claro es mal asunto llegar a eso. Pero, para afirmar que eso es cero te basas en que antes se dijo que el diferencial segundo de x era cero ó que la derivada segunda de y respecto a y es cero.

Fíjate que con la notación que yo uso ese cociente no aparece así sino (incluso omitiendo el punto x donde derivamos) de esta forma:

\( \displaystyle\frac{d^2y(dx,dx)}{(dy(dx))^2}=\displaystyle\frac{y''}{(y')^2} \)

lo cual no es contradicción ninguna. Si sustituyo:

\( d^2y(dx,dx)=y''dx^2 \)
\( (dy(dx))^2=(y'dx)^2 \)

la igualdad anterior es una identidad... y sigue sin haber problema.

Saludos.

P.D: Sigo sin ver si esa crítica de que "la derivada enesima no puede interpretarse como un cociente" también se la haces a la diferencial primera (n=1).

[Rogelio Yoyontzin]

Hola:

Caramba he visto que Jabato se ha triado esta discusión hasta este foro. Qué bien, aquí se puede escribir mejor.

Me toca meter mi cucharota. Perdón de antemano si digo algo que ya han pensado o que ya tienen discutido, la verdad es que  no tengo mucho tiempo de leer todos los mensajes que se han escrito por lo pronto.

Primero:  Dada una función \( f:\mattbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) su diferencial en el punto \( p\in \matbb{R}  \) se define como la apliicación lineal \( df(p):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) tal que

\( \lim_{h\mapsto 0} \frac{f(p+h)-f(p)-df(p)(h)}{h}=0 \)

Notar que por definición \( df(p) \) es una transformación lineal y que está definida  tomando al punto \( p \) fijo.

Se puede calcular, y cero que ya lo hicieron, que el valor de \( df(p) \) en el punto \( h\in \mathbb{R} \) se calcula fácilmente asi: \( df(p)(h)= f'(p)h \).


Segundo: La  función identidad \( I:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) tal que \( I(x)=x \) es diferenciable y su diferencial en el punto \( p \) es la transformación lineal

\( dx(p)=dI(p) \) tal que \( dx(p)(h)= I'(p)h = 1h=h \)

Así que \( dx(p) \) es la transformacion lineal tal que \( dx(p)(h)=h \), es decir, es la identidad. Esto nos permite ver que la diferenial \( dx(p) \) es una "base" para el espacio de las diferenciales de funciones, en otras palabras, para toda funcion \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) se tiene que la función
\( f'(p)dx(p) \) (ojo que es una función, más precisamente una trasformación lineal que resulta de miltiplicar la constante \( f'(p) \) por la transformación lineal dx(p)) es tal que evaluada en \( h \):

\( f'(p)dx(p)(h)= f'(p)[dx(p)(h)]= f'(p)h = df(p)(h) \)

Es decir las funciones lineales \( df(p) \) y \( f'(p)dx(p) \) son iguales.

Como la funcion lineal \( dx(p)(h)=h \) para todo punto \( p \), esto es \( dx(p)=dx(q)  \) como funciones para cualesquiera dos puntos,  entonces se escirbe genéricamente \( dx \) en vez de estár escribiendo \( dx(p) \). Así se tiene que

\( df(p)=f'(p)dx \) donde esta igualdad es como funciones. Notar que \( dx \) NO es un número real, es una función que toma valores reales, que no es lo mismo.

Ya me tengo que ir...  dejo esto por lo pronto.

Saludos.

[Jabato]

No Yoyo, en este debate se está planteando una cuestión distinta, en este tratamos de dilucidar si fuera posible cual es la forma correcta de calcular los diferenciales sucesivos de una función real de una sola variable, y parece que hay dos versiones distintas del asunto, hasta el momento irreconciliables.

No es el debate de las formas diferenciales y los elementos diferenciales, es distinto, aunque no negaré que están relacionados. Ademas si te fijas bien verás que el debate lo inició Island, yo solo intervine en él.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

parece que hay dos versiones distintas del asunto, hasta el momento irreconciliables.

Curioso. Como vengo diciendo yo no los veo en absoluto irreconciliables. Le ponemos el mismo nombre a conceptos distintos, pero el uno no niega el otro ni nada parecido.

En cuanto a la aportación de yoyontzin, muy rigurosa. Me gusta sobre todo el que haya señalado la interpretación de dx como la aplicación diferencial de la identidad. Esto da RIGOR a la expresión:

df(x)=f'(x)dx

El formalismo que está introduciendo huele al punto de vista más general de las formas diferenciales.

Por otra parte por fin encontré una referencia completa donde vienen definidas las diferenciales k-ésimas:

http://www.ugr.es/~dpto_am/miembros/aparicio/apuntes/apuntes-an-mat-i-1-11-06.pdf

Página 186 y sucesivas: diferencial segunda.
Página 220 y sucesivas: diferencial k-ésima.

En general están relacionado con el tema que se trata el capítulo II.

Saludos.

P.D. Para situar a yoyontzin, mi definición de diferencial segunda se resume aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,8421.msg35145.html#msg35145

La de Jabato (que me corrija si me equivoco) aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,8421.msg34996.html#msg34996

Ya digo le llamamos diferencial segunda a cosas distintas. Pero a mi las dos construcciones me parecen coherentes. Ahora bien creo que la que aparece en la literatura (aunque a veces introducida de otra manera) es la que yo describí.