Hola
De verdad, yo creo que mis definiciones de diferencial k-ésima no las habéis leido, o os dan igual, o os la traen al fresco, o he perdido la más mínima capacidad de hacerme entender (cosa que no descarto)....
Resumen:
Sea \( f:R\longrightarrow{}R \) una función real de variable real y x un punto de R.
Incremento de primero orden: \( \Delta f(x)(h)=f(x+h)-f(x) \)
Incremento de segundo orden: \( \Delta^2 f(x)(h)=\Delta (\Delta f(x)(h))(h)=f(x+2h)-2f(x+h)-f(x) \)
Definición de diferencial primera f en x. Es una aplicación lineal de R en R denotada por df(x) que cumple:
\( \displaystyle\lim_{h\to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta f(x)(h)-df(x)(h)}{h}=0 \)
Definición de diferencial segunda f en x. Es una aplicación bilineal de \( R\times R \) en R denotada por df(x) que cumple:
\( \displaystyle\lim_{h\to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta^2 f(x)(h)-df(x)(h,h)}{h^2}=0 \)
Observaciones. 1) Si interpretamos h como un incremento de x ambas fórmulas pueden escribirse como:
\( \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta f(x)(\Delta x)-df(x)(\Delta x)}{\Delta x}=0 \)
\( \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta^2 f(x)(\Delta x)-df(x)(\Delta x,\Delta x)}{(\Delta x)^2}=0 \)
2) Una aplicación lineal de R en R queda caracterizada si sabemos como actúa sobre el 1. Es decir sabemos que la aplicación df(x) ha der ser de la forma:
\( df(x)(h)=k\cdot h \)
Susituyendo en la definición de diferencial, sale que:
\( k=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta f(x)(h)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \)
Por lo que obtenemos que efectivamente:
\( df(x)(h)=f'(x)\cdot h \)
3) Una aplicación bilineal de \( R\times R \) en R queda caracterizada si sabemos como actúa sobre el 1. Es decir sabemos que la aplicación \( d^2f(x) \) ha der ser de la forma:
\( df(x)(h_1,h_2)=k\cdot h_1h_2 \)
Susituyendo en la definición de diferencial, sale que:
\( k=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta^2 f(x)(h)}{h^2}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\displaystyle\frac{f(x+2h)-f(x+h)-f(x+h)+f(x)}{h^2}=\mbox{ L'Hopital }=f''(x) \)
Por lo que obtenemos que efectivamente:
\( d^2f(x)(h_1,h_2)=f''(x)\cdot h_1\cdot h_2 \)
4) Juntando todo lo anterior se tiene:
\( f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta f(x)(\Delta x)}{\Delta x} \)
\( f''(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{}\displaystyle\frac{\Delta^2 f(x)(\Delta x)}{(\Delta x)^2} \)
Teniendo en cuenta que una de las interpretaciones del símbolo "diferencial de x" son incrementos pequeños de x (como bien recuerda el señor Ivorra). Tiene sentido DENOTAR (sólo denotar=notación formal), lo anterior así:
\( f'(x)=\displaystyle\frac{df(x)}{dx}} \)
\( f''(x)=\displaystyle\frac{d^2f(x)}{(dx)^2}} \)
5) De igual forma las expresiones:
\( df(x)(h)=f'(x)\cdot h \)
\( d^2f(x)(h_1,h_2)=f''(x)\cdot h_1\cdot h_2 \)
Aplicadas sobre incrementos pequeños \( h=h_1=h_2=dx \) tiene sentido expresarlas (=notación) así:
\( df(x)=f'(x)dx \)
\( d^2f(x)=f''(x)(dx)^2 \)
En este sentido en el que digo que comulgo con las conclusiones de Island, aunque como ves, el camino para llegar a ellas es bien distinto (de hecho llevo dos o tres mensajes debatiendo eso con él). No se parece en nada a manejes algebraicos de multiplicar o dividir dx.
6) Creo que esto resume mis ideas sobre el tema y en parte debería de contestar a tu pregunta, Jabato, que no comprendo del todo. En todo caso la clave está en que para mi, una y otra, las dos expresiones que has escrito, la que se parece a un cociente y a un producto son notaciones. La motivación que les veo es la que he descrio en los 5 puntos anteriores.
7)
Vamos a ver, creo que el argumento que voy a exponer es definitivo.
¿Definitivo para responder a qué? Si la cuestión es si la definición "buena" de diferencial segunda es la tuya o la mía. No hay respuesta para eso.
En una definición uno escoge un nombre y describe a que le va poner ese nombre.
Entonces tu entiendes una cosa por diferencial segunda y yo otra distinta.
- Está mal la tuya. No. Como he dicho me parece coherente. Aplicas sucesivamente la idea de diferencial primera a funciones dependientes de cada vez más variables.
- Está mal la mía (no es mía... más bien la que yo expuse). No. Me parece también coherente. Extiende de manera natural (creo que queda claro en el desarrollo inicuial de este post) la definición de diferencial primera.
- ¿Cual es la que aparece en la literatura como diferencial segunda?... La que yo expuse como se pude ver en el enlace
http://www.personal.us.es/jocar/_private/amii/tema3-0506.pdfdonde apare la diferencial segunda para una función de varias variables. Si se aplica a una variable queda simplemente como la aplicación bilineal cuya "matriz" asociada es la derivada segunda.
En fin espero haber aclarado algo mi posición.
Saludos.
