Buenas noches, queridos contertulios:
Vamos a ver, para empezar pido disculpas por tener la boca callada todo el día, pero la culpa la tiene la retroexcavadora que se ha cepillado una manguera de fluido eléctrico.
Hay varios matices que yo quería introducir pero veo que ya lo habéis hecho vosotros. No obstante, me gustaría hacer los siguientes comentarios.
A estas alturas de discusión ya no se me ocurre otra cosa que ir puntualizando cada uno de los temas en cuestión.
i) La derivada se viene definiendo desde la reforma rigurosa de Cauchy como el límite de un cociente incremental:
\( \[
f'(x) = \mathop {l\'i m}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {l\'i m}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}
\]
\)
En esto creo que todos estamos de acuerdo y nadie lo pone en duda. Hasta los libros de texto están de acuerdo con nosotros también.
ii) Por influencias clásicas (Leibniz, Newton, etc.), se denota también a la derivada con la notación \( \[
f'(x) = \frac{{df(x)}}{{dx}}
\]
\) donde
no tiene sentido (y doy la razón a Jabato) considerar esta expresión como un cociente de diferenciales en ningún caso (aunque en la práctica se haga y para más inri se llegue a buen puerto), sino como "la derivada de f(x) respecto de x" (sí, el_manco, a mí también me enseñaron a leerlo así y no "diferencial de f(x) dividido por diferencial de x"). De hecho, y aquí quizás me acabe de volver un poco extremista, debiera prohibirse esta notación para evitar confusiones, o a lo sumo escribirse como \( \[
f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left[ {f(x)} \right]
\]
\) para indicar claramente que "\( \[
\frac{d}{{dx}}
\]
\)" es un operador que se aplica como un
todo.
Esgrimo este argumento porque la Mátemática se conoce como ciencia exacta, de manera que aunque podamos admitir que haya enfoques intuitivos y rigurosos, aquí las cosas no pueden ser grises, han de ser o blancas o negras. Por lo tanto, lo que motiva duda, no debe utilizarse y debe decidirse sin dilación qué es correcto y qué no lo es y evitar hablar de planteamientos semicorrectos.
iii) Debido a Cauchy también, se define el diferencial de una función como la derivada de la función multiplicada por el incremento de la variable independiente, i.e. \( \[
df(x) = f'(x) \cdot dx
\]
\), pero de aquí no hay que inferir (y rectifico mis planteamientos informales de mensajes anteriores) mediante operatoria algebraica que \( \[
f'(x) = \frac{{df(x)}}{{dx}}
\]
\) precisamente por lo que acabo de explicar en ii).
iv) En mi opinión, tiene absoluto sentido y en este caso difiero completamente con la opinión de Jabato, que se puede hablar de diferenciales de diferenciales igual que se habla perfectamente de derivadas de derivadas. Por ello y, basándome en desarrollos que hice en anteriores mensajes, se puede generalizar:
\( \[
\begin{array}{l}
df(x) = f'(x) \cdot dx \\
d^2 f(x) = f''(x) \cdot (dx)^2 + f'(x) \cdot d^2 x \\
... \\
d^n f(x) = f^{(n)} (x) \cdot (dx)^n + f^{(n - 1)} (x) \cdot (n - 1) \cdot (dx)^{n - 2} d^2 x \\
\end{array}
\]
\)
De manera que, y en esto difiero completamente con Jabato y estoy de acuerdo con lo que dice el_manco y con la conclusión a la que yo también llegué, \( \[
d^2 x
\]
\) es igual a cero puesto que la "derivada segunda de f(x)=x respecto de x dos veces" es nula, se mire como se mire, i.e. \( \[
\frac{{d^2 x}}{{dx^2 }} = 0
\]
\), con lo cual, aplicando la definición de diferencial, \( \[
d^2 x = f''(x) \cdot (dx)^2 = 0 \cdot (dx)^2 = 0
\]
\)
Y en consecuencia:
\( \[
\begin{array}{l}
df(x) = f'(x) \cdot dx \\
d^2 f(x) = f''(x) \cdot (dx)^2 \\
... \\
d^n f(x) = f^{(n)} (x) \cdot (dx)^n \\
\end{array}
\]
\)
Por cierto, que en los detalles del desarrollo anterior, se deduce la expresión para el diferencial de un diferencial elevado a la potencia n-ésima, i.e. \( \[
d\left[ {(dx)^n } \right] = n \cdot (dx)^{n - 1} \cdot d^2 x
\]
\), lo cual no tiene mucho de especial teniendo en cuenta que se llega a lo mismo aplicando la regla de derivadas para potencias. No obstante, lo interesante y lo que cabe resaltar es que en la "construcción" del diferencial n-ésima a partir del diferencial de primer orden es que el diferencial de diferencial más grande que aparece es de orden dos, cuyo valor es nulo, según hemos explicado anteriormente, anulándose siempre el segundo sumando del desarrollo.
En lo que a mí respecta, el tema está claro y creo que es extrapolable a incrementos de distinto tamaño y a funciones de varias variables.
Pero como todo no es perfecto en esta vida, seguirá existiendo el choque formal matemático del diferencial con el enfoque físico-ingenieril del diferencial (elemento diferencial). Y los pobres chavales seguirán confundiéndose por esta falta de unicidad conceptual, máxime cuando se le saca tanto jugo al tratamiento de las derivadas como cocientes de diferenciales en cualquier disciplina científica que se nos ocurra a pesar de ser formalmente incorrecto como hemos explicado.
Salu2,
island in the darkness.
