[argentinator]

A veces se usa la diferencial en problemas de geometría o de física a modo de cambio de variable en una integral. Por ejemplo, se suele definir la diferencial ds como \( ds=\sqrt{dx^2+dy^2} \).
Eso parece un sinsentido en la teoría de diferenciales, pero cobra significado si se mira a los diferenciales como ''medidas deformadas'' de un conjunto.
La definición rigurosa puede requerir distintos tipos de formalización.
Un modo más o menos accesible es el de integral de Stieltjes, que generaliza la integral de Riemann.
El caso más simple es la propiedad de sustitución de integrales. Si u es una función diferenciable, entonces

\( \int a(u) du = \int a(u(x)) u'(x) dx \)

Cuando u no es diferenciable, el diferencial du aún puede tener sentido, siguiendo un proceso de definición de integral tipo Riemann-Stieltjes.
Pero aquí el sentido es de ''medida de conjuntos'', porque está involucrada una integral. Esa medida puede ser una longitud de arco, o alguna otra cosa.

Nunca me quedó del todo claro la relación entre los diferenciales vistos de esta manera, y los diferenciales tipo abstracción ''operadores en un espacio lineal tangente'' tal como los están discutiendo.

[Jabato]

Una pregunta para el manco, ¿Porque cuando tratabas de calcular el diferencial segundo has supuesto que el segundo incremento de la variable debe ser igual que el primero?¿Hay alguna razón para ello ó pueden ser distintos?

En mi modesta opinión un diferencial segundo, si es que existe definido algo así, es una función de dos "variables", el primer incremento de x y el segundo que no son necesariamente iguales y que por lo tanto debemos representar con símbolos distintos. Para hacer tender dicho elemento a cero en una integración, por ejemplo, deberíamos considerar límites dobles, en fin que la cosa no es tan sencilla como a primera vista parece.

Saludos, Jabato.

 

[Luis Fuentes]

Hola

 Si es que al final vuelvo a lo mismo. Se está intentando usar con rigurosidad ideas intuitivas. Si uno quiere ser riguroso mejor usar las construcciones rigurosas; si uno va a trabajar de manera inutitiva, admitamos flexibilidad.

Una pregunta para el manco, ¿Porque cuando tratabas de calcular el diferencial segundo has supuesto que el segundo incremento de la variable debe ser igual que el primero?¿Hay alguna razón para ello ó pueden ser distintos?

En realidad el desarrollo que hice es intuitivo: es una forma intutiva de ver que el diferencial segundo se comporta como debe, si lo interpretamos como un incremento de un incremento. Efectivamente uno podría haber intrepretado que el segundo incremento es diferente del primero.

Si queremos una definición rigurosa de derivada segunda: la conocemos todos.

En general la aplicación diferencial primera para una función \( f \) de \( R^n \) en \( R^m \), es una aplicación lineal de \( R^n \) en \( R^m \), cuya matriz asociada es \( \displaystyle\frac{df_i}{dx_k} \).

La aplicación diferencial k-ésima es una aplicación multilineal de \( R^n\times \ldots\times R^n \) en \( R^m \), cuyo tensor asociado es \( \displaystyle\frac{d^kf_i}{dx_{j_1}\ldots dx_{j_k}} \).

Nunca me quedó del todo claro la relación entre los diferenciales vistos de esta manera, y los diferenciales tipo abstracción ''operadores en un espacio lineal tangente'' tal como los están discutiendo.

A ver la relación es clara: su motivación inicial es la misma. Digamos que las ideas nacieron del cálculo diferencial en una variable para "buenas" funciones. Éste es (moderadamente) intuitivo. A partir de ahí se fue extendiendo a otras situación, conservando la notación, perdiendo en intuición pero ganando en generalidad y abstracción. Efectivamente en teoría de la medida se emplea la notación du para indicar con respecto a que medida se integra; pero esa "d" ha perdido su significado inicial relativa al cálculo diferencial. Por otro lado ese cálculo diferencial cásico nos da una forma de medir (integrando), luego la notación es buena.

Saludos.

[island in the darkness]

Veamos, el_manco:

Estoy de acuerdo con lo que expones y sí, tengo claras las diferencias que haces notar:

Diferencial de un diferencial o diferencial segunda o diferencial de segundo orden: \( d(dx) \) o \( d^2 x \) por convenio.
Cuadrado de un diferencial: \( (dx)^2  \) o simplemente \( dx^2  \) por convenio.
Diferencial de un cuadrado: \( d(x^2 ) = 2xdx. \)

Dejando al margen lo que comenta muy acertadamente Jabato sobre la no necesidad de que el segundo incremento (diferencial en el límite) sea del mismo tamaño que el primero y admitiendo que todos los incrementos son iguales, quiero hacer los siguientes desarrollos basados en la definición de derivada como el límite del cociente incremental.

\(
\begin{array}{l}
 \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} \to f'(x){\rm{  si }}\Delta x \to 0 \\
 \frac{{f'(x + \Delta x) - f'(x)}}{{\Delta x}} = \frac{{f(x + 2\Delta x) - 2f(x + \Delta x) + f(x)}}{{(\Delta x)^2 }} \to f''(x){\rm{  si }}\Delta x \to 0 \\
 \frac{{f''(x + \Delta x) - f''(x)}}{{\Delta x}} = \frac{{f(x + 3\Delta x) - 3f(x + 2\Delta x) + 3f(x + \Delta x) - f(x)}}{{(\Delta x)^3 }} \to f'''(x){\rm{  si }}\Delta x \to 0 \\
 \frac{{f'''(x + \Delta x) - f'''(x)}}{{\Delta x}} = \frac{{f(x + 4\Delta x) - 4f(x + 3\Delta x) + 6f(x + 2\Delta x) - 4f(x + \Delta x) + f(x)}}{{(\Delta x)^4 }} \to f''''(x){\rm{  si }}\Delta x \to 0 \\
 ... \\
 \sum\limits_{i = 0}^n {( - 1)^{n - i} \left( \begin{array}{l}
 n \\
 i \\
 \end{array} \right)\frac{{f(x + i\Delta x)}}{{(\Delta x)^n }}}  \to f^{(n)} (x){\rm{  si }}\Delta x \to 0 \\
 \end{array}
 \)

Esta última expresión nos daría el cociente incremental para en el paso al límite poder calcular la derivada n-ésima. Y ahora vuelvo a incidir sobre el tema, ¿qué relación hay entre esto y la expresión (*) que expuse en mensajes anteriores¿ ¿Qué es, si lo hay, erróneo en (*)? Algo debe ser erróneo o despreciable para que aplicando la definición de diferencial de una función real de variable real, ésta sea compatible con la definición de derivada. ¿O acaso podemos afirmar que no se puede utilizar la definición de diferencial recursivamente para hallar diferenciales de diferenciales? ¿Por qué?



island in the darkness.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ya lo indiqué antes, aunque quizá de pasada.

Por otra parte, fíjate que la fórmula del incremento de orden 2 aplicado a la función f(x)=x, es cero. Eso equivale a que la segunda derivada de x es cero. Y a que en tu expresión (*)  \( d^2x \) es cero.

 En tu expresión (*), el término \( f'(x)d^2x \), se anula, porque el incremento segundo de x es nulo. O si prefieres:

\( \displaystyle\frac{d^2x}{dx^2}=0 \)

 De todas formas en tu deducción de la expresión (*) mezclas intuición y rigurosidad. Estás aplicando la regla de la cadena. ¿Por qué puedes hacer eso? ¿Que interpretación de "d" estás utilizando para permitirse ese "lujo"?.

Saludos.

[Jabato]

Decididamente la definición de derivada si permite el cálculo de la derivada n-sima pero la definición de diferencial no permite el cálculo del diferencial n-simo tan facilmente como se expone aquí, ya que al realizar n incrementos de la variable no necesariamente iguales obtenemos una "función de n variables distintas y absolutamente independientes, que son cada uno de los diferenciales dix.

Dicho de otra manera, tiene sentido matemático hablar de derivada n-sima pero no lo tiene hablar de diferencial n-simo ó al menos no tiene sentido en la forma que se pretende:

dnf = f(n · dxn

Esa expresión no tiene validez general, ó al menos no está tan claro que la tenga, debería demostrarse su validez en todo caso.

Saludos, Jabato.

[island in the darkness]

Particularizar para f(x)=x no aporta mucha luz al tema, ya que las expresiones que se están considerando se supone que sirven para culaquier función \( f(x) \) real de variable \( x \) real.

No obstante, considerando por un momento \( f(x)=x \) en mi expresión (*), si no me equivoco resulta lo siguiente:

\( d^2 f(x) = d\left[ {df(x)} \right] = f''(x)(dx)^2  + f'(x)d(dx) \), donde por convenio se acuerda que:

\(
\begin{array}{l}
 (dx)^2  = dx^2  \\
 d(dx) = d^2 x \\
 \end{array}
 \)

Como \( f(x)=x \), entonces:

\( d^2 x = d\left[ {dx} \right] = 0 \cdot dx^2  + 1 \cdot d^2 x \)

Es decir, se llega a la igualdad \( d^2 x = d^2 x \).

No veo por qué dices que en (*) resulta \( f'(x)d^2 x = 0 \).

Creo que no queda más remedio que decir claramente qué está bien y qué está mal, porque veo que impregnando las cosas con la idea de la intuición sólo llegamos a contradicciones. Es decir, ¿la pregunta sería qué es correcto y qué no lo es? Y la segund apregunta es, ¿qué te parece la cuestión que plantea Jabato en su último mensaje?

island in the darkness.

[Jabato]

Voy ahora a reaizar el desarrollo que a mi me parece correcto, en relación con los diferenciales n-simos. Supongamos una función f(x) de la que voy a tratar de realizar el cálculo de su diferencial segunda usando el proceso de incrementarla dos veces.

El primer paso está claro y creo que no le debe plantear dificultades a nadie:

\( df(x) = f'(x)dx \)

según la definición más ortodoxa del diferencial de una función, ahora bien en este punto debemos considerar que x y dx son dos variables independientes, lo que convierte a esta expresión en una función de dos variables, y por lo tanto para calcular su diferencial debemos aplicar la definición para este tipo de funciones, (consideraré que el primer incremento de x y el segundo sean iguales ya que de otra forma el resultado no es ni parecido):

\( d(df(x))=d^2f(x)=f''(x)dx dx+f'(x)d(dx)=f''dx^2 + f'(x)d^2x \)

y no existe ninguna razón para considerar que alguno de estos términos deba anularse, absolutamente ninguna, por lo que aún suponiendo que ambos incrementos sean iguales llegamos a la conclusión de que la ecuación:

\( d^2f(x)=f''(x)dx^2 \)

es absolutamente falsa.

En el caso de considerar que ambos incrementos de x fueran distintos la ecuación a la que se llega es:

\( d(df(x))=d^2f(x)=f''dx_1dx_2 + f'(x)d^2x \)

que está todavía más alejada de la que se propuso puesto que \( dx_1 \), \( dx_2 \) y \( d^2x \) son tres variables distintas y absolutamente independientes entre sí.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

Veamos:

\( d^2x \) es cero prácticamente con cualquier intepretación razonable que se me ocurre de diferencial.

- Punto de vista 1: Simplemente la derivada segunda de x es cero.

- Punto de vista 2: el incremento de segundo orden de la función f(x)=x es cero, incluso trabajando con dos incrementos distintos:

\( \Delta^2f(x)=f(x+h+g)-f(x+h)-f(x+g)+f(x) \)

da 0 para f(x)=x. ¡Incluso sin pasar al límite!.

(utilizo h y g para denotar a los incrementos para no andar con subíndices).

Intuitivamente:

- La diferencial de primer orden es la aplicación lineal que "más se parece" a la función cerca del punto.

- La diferencial de seguno orden es la aplicación bilineal que "más se parece" a la función cerca del punto y de su diferencial de primer orden.

- Esto generaliza a la diferencial enésima.

Formalmente para una variable, recuerdo que la definición más ortodoxa de diferencial es esta. Es una aplicación lineal \( df(x)  \) de R en R verificando:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)-df(x)(h)}{h}=0 \)

De ahí se deduce que df(x)(h)=f'(x)h.

Esto se generaliza a dos variables así. La diferencial de segundo orden es una aplicación \( d^2f(x) \) bilineal de \( R\times R \) en \( R \) verificando:


\( \displaystyle\lim_{h,\to 0}{}\displaystyle\frac{f(x+2h)-f(x+h)-f(x+h)+f(x)-d^2f(x)(h,h)}{hg}=0 \)

(o incluso creo que es válido para incrementos distintos:

\( \displaystyle\lim_{h,g \to 0}{}\displaystyle\frac{f(x+h+g)-f(x+h)-f(x+g)+f(x)-d^2f(x)(h,g)}{hg}=0 \)

De ahí se deduce que:

\( d^2f(x)(h,g)=f''(x)hg \)

Y generaliza a la diferencial de orden n, como una aplicación multilineal:

\( d^nf(x):R\times \ldots\times R\longrightarrow{} R \)

verificando:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^n (-1)^{i+1}\displaystyle\binom{n}{i}f(x+ih)-d^nf(x)(h,\ldots,h)}{h^n}=0 \)

De ahí se deduce que:

\( d^nf(x)(h_1,\ldots,h_n)=f^{n)}(x)(h^1,\ldots,h^n) \)

Lo bueno es que esto todavía puede generalizarse fácilmente a funciones de varias variables.

Una buena forma de entender geométricamente todo esto es pensar en el polinomio de Taylor, tanto en una como en varias variables.

Saludos.

[Jabato]

¿Qué significa "practicamente cero"?

Veamos:

\( d^2x \) es cero prácticamente con cualquier intepretación razonable que se me ocurre de
diferencial.

Te recuerdo que la definición de df(x) es una función que depende de h, el incremento de la variable, luego es imposible que tal definición dependa de un límite en el que h tiende a 0. Revisa eso por favor

author=el_manco link=topic=8421.msg35003#msg35003 date=1194370219]
- Esto generaliza a la diferencial enésima.

Formalmente para una variable, recuerdo que la definición más ortodoxa de diferencial es esta. Es una aplicación lineal \( df(x)  \) de R en R verificando:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)-df(x)(h)}{h}=0 \)

De ahí se deduce que df(x)(h)=f'(x)h.