Hola. Recordemos la siguiente las siguientes expresiones:
\( A^2 = (A-1)(A+1)+1 \) [Ecuación 1]
\( A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) \) [Ecuación 2]
\( A^4 = ((A-1) A^2 (A+1)+ A^2) \) [Ecuación 3]
\( A^n = ((A-1) A^{n-2} (A+1)+ A^{n-2}) \) [Ecuación 4]
Seguidamente en la Ecuación 2, en adelante E2. \( A^3 = ((A-1) A (A+1)+ A) \). Llamemos \( ((A-1) A (A+1) \) núcleo y a A extremo. A continuación enumeramos distintos casos para intentar demostrar la conjetura.
Caso A^3+B^3= (A+B)^3
Modelicemos la suma \( A^3+B^3 \). Para ello aplicamos la E2. Solo en lo referente al núcleo. Obteniendo.
\( (A-1)A(A+1) + (B-1)B(B+1)= (A+B)(A^2 - AB+B^2-1) \).
El 1 desaparecería de dicha ecuación si le añadimos los extremos A + B. Esto es. \( (A-1)A(A+1) + A (B-1)B(B+1) +B= (A+B)(A^2-AB+B^2) \). E5.
El siguiente paso es modelizar. \( (A+B)^n \). Para ello introducimos una nueva ecuación E6. Esto es:
\( ((A^2)((A+B)^{(n-2)})) + ((B^2)((A+B)^{(n-2)} + ((2AB)((A+B)^{(n-2)})) \);
\( ((A+B)^{(n-2)}) (A^2 + B^2 +2AB) \) E6.
Observemos E5 y E6, respectivamente. Adoptando este última el grado de 3.
\( (A+B)(A^2+AB+B^2) = ((A+B)) (A^2 + B^2 +2AB) \). Rápidamente, nos viene a la cabeza el UTF. Y si, si igualamos simplificamos ambas expresiones obtenemos \( (A+B)(A^2 - AB+B^2) = ((A+B)) (A^2 + B^2 +2AB) \); \( -AB= +2AB \). Llegamos a una contradicción. Entonces podemos decir que \( A^3+B^3 = (A+B)^3 \) nunca tendrá solución con número enteros. Ya que ninguno de estos puede satisfacer \( -AB= +2AB \).
Caso A^4+B^4= (A+B)^3
Modelizamos \( A^4+B^4 \). Para ello aplicamos la E3. Solo en lo referente al núcleo. La obtención en principio es irrelevante. Añadamos la siguiente parte de la igualdad. Esto es:
\( A^4+B^4 = ((A+B)) (A^2 + B^2 +2AB) \);
\( (A^4+B^4)/(A+B) = (A^2 + B^2 +2AB) \);
\( (((2a^4)/(a+b))-(a^3)+(a^2)b-a(b^2)+(b^3)) = (A^2 + B^2 +2AB) \);
En esta última expresión podemos ver que la división \( (((2a^4)/(a+b)) \) condiciona a toda la ecuación. Ya que, si su resultado no es un número entero la conjetura no se cumple. Si analizamos dicha expresión observamos que para que el resultado sea entero a y b deben tener un factor común. En caso contrario el resultado no es un número entero y entonces no cumple conjetura.
Encontramos los siguientes ejemplos, entre otros, \( 4^4+4^4=8^3; 32^4+32^4=128^3; 108^4+108^4=648^3; 256^4+256^4=2048^3; 289^4+578^4=4913^3; 500^4+500^4=5000^3 \).
Caso A^5+B^5= (A+B)^3
\( (((A^3)(A-1)(A+1)+( B^3)(B-1)(B+1)))+(A^3)+(B^3)= ((A+B)^(1)) (A^2 + B^2 +2AB) \);
\( (((A^3)(A-1)(A+1)+( B^3)(B-1)(B+1))/(A+B))+(A^3)/(A+B)+(B^3)/(A+B))= (A^2 + B^2 +2AB) \);
Si alguna de los quebrados, su resultado no es integro, entonces la conjetura no cumple. Por lo tanto conforme, el caso \( A^4+B^4= (A+B)^3 \), a y b comparten factor común. De no ser así \( (A^2 + B^2 +2AB) \) sería igual a un número distinto de un entero.
Encontramos los siguientes ejemplos, entre otros, \( 2^5+2^5=4^3; 16^5+16^5=128^3; 54^5+54^5=972^3; 66^5+33^5=1089^3 \).
Caso A^n+B^n= (A+B)^m
Siendo n y m ambos mayores que tres e íntegros.
\( (((A^{(n-2)})(A-1)(A+1)+( B^{(n-2)})(B-1)(B+1)))+(A^{(n-2)})+(B^{(n-2)})= ((A+B)^{(m-2)}) (A^2 + B^2 +2AB) \);
\( (((A^3)(A-1)(A+1)+(B^3)(B-1)(B+1))/((A+B)^(m-2)))+(A^3)/((A+B)^(m-2)))+(B^3)/((A+B)^(m-2))))= (A^2 + B^2 +2AB) \);
Si alguna de los quebrados, su resultado no es integro, entonces la conjetura no cumple. Por lo tanto conforme lo comentado A y B deben poseer un factor común.
Resumiendo y desde otro punto de vista. Para intentar resolver la conjetura propongo la siguiente ecuación:
\( A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n \) llamémosla E7; Siendo AB() el desarrollo de los sumandos intermedios de las potencias establecidas conforme el Triangulo de Pascal. Si nos fijamos en los sumandos intermedios del Triangulo, todos ellos tendrán el factor común de (A.B). Nombrada E7 indicar que solo pueden existir tres casos en los que pueda cumplirse la conjetura.
Caso A.
\( A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n \); \( A^n + AB()+ B^n = (A+B)^n \);
\( C^m+ B^n = (A+B)^n \); donde \( C^m = A^n + AB() \). Pero siempre con la restricción del factor común, en A y B, de lo contrario la conjetura no cumple. Esto es. \( A^n + B^n+ AB() = (A+B) (A+B)^{n-1} \); \( (A^n + B^n + AB())/((A+B)) = (A+B)^{n-1} \). Si \( (A^n, B^n y AB()) \) no comparte factor común con (A+B) entonces \( (A+B)^{n-1} \) no sería igual a un número entero.
Caso B.
Es el Caso A, con el matiz de que \( C^m = B^n + AB() \).
Ejemplo. \( 7^3+7^4=14^3 \).
Caso C.
\( A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n \); \( A^n + B^n = (A+B)^n - AB() \). Coincidiendo con el Caso A y B, en aquello de la restricción.
Ejemplo. \( 3^3+6^3=3^5 \); Es decir \( 3^3+6^3+2·3^5=9^3 \). Siendo \( 2·3^5 \) la suma de los sumandos intermedios del Triangulo de Pascal. En este caso \( 9^3-2·3^5 = 3^6-2·3^5 = 3^5(3-2) = 3^5 \).
Si lo enunciado fuera cierto, estaríamos en condiciones de responder a la pregunta inicial.
Atentamente.