Autor Tema: Conjetura de Beal

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11 Octubre, 2016, 11:10 am
Respuesta #80

Luis Fuentes

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Hola

Entonces para que esta expresión sea igual a potencia. \( ((A+B)^2-3AB)=(A+B)^m  \).
Eso, es lo que no veo porqué tiene que ser así.
Estás presuponiendo que, la base de la potencia es \( A+B \).
 
Cierto Mente Oscura, estoy suponiendo que, la base de la potencia es \( A+B \). Pero es que dicha potencia, si o si, es la base \( A+B \) o un producto en el que participa \( A+B \).

Pero no es lo mismo que digas que la base \( A+B \) (que es una situación muy particular), que el hecho de que la base tenga como factor a \( A+B \).

Es decir, si \( A^3+B^3=C^3 \) es cierto que \( C^3 \) tiene que ser divisible por \( A+B \), es decir, \( C^3=(A+B)k \), donde \( k  \)es otro factor.

Pero no tiene porque ocurrir que necesariamente \( C^3=(A+B) \).

Citar
Si vemos la expresión \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \). Si de ella queremos obtener potencia. Entonces, a mi entender, bajo mejor opinión, \(  ((A+B)^2-3AB) \) tiene que ser igual (me refiero única y exclusivamente a la base) a \( (A+B)^m  \) donde entonces 3AB debería poseer un factor común con (A+B).

"A mi entender" o "bajo mejor opinión" no son argumentos. La cuestión es muy sencilla (y me centro en el caso del Teorema de Fermat de grado tres). Hay que estudiar si es posible números enteros no nulos verificando:

\( A^3+B^3=C^3 \)

y tu te empeñas sin ninguna justificación sólida en tomar \( C=A+B \).

Saludos.

11 Octubre, 2016, 06:44 pm
Respuesta #81

Gonzo

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Hola:
\(  A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3  \); \(  A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B)  \).
\( ( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB)  \).
Manco es aquí donde entra la K. Es decir \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K \).
Viendo esta expresión \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) simplemente indico que si A y B no comparten factor común \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) dicha expresión nunca será igual a una potencia. Es decir, \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3); 5·((25-18)); 5·7  \). Obviamente no forma potencia.
Insisto, para que formen potencia \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \).entonces \(  ((A+B)^2  \) y \(   3AB)  \) tienen que poseer un factor común. Y la única forma es que A y B tengan factor común.
La expresión \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \), los dos primeros componentes (A+B) siempre tendrá su factor común “obviedad” por lo tanto lo que produce que \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) sea potencia o no, es que \(  ((A+B)^2  \) y \(   3AB)  \) compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común.
De acuerdo con el Manco, \(  C^3 = (A+B))·k \), es decir \(  A^3+ B^3 = (A+B))·k \).
En lenguaje del enunciado de la Conjetura de Beal, A + B, tiene un factor común con C. Junto con lo indicado que A y B deben tener un factor común (recordemos para que \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) sea potencia \(  ((A+B)^2  \) y \(   3AB)  \) compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común). Por lo tanto, se cumple la conjetura de Beal si A y B tienen un factor común.

En definitiva, para que\(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) sea potencia, nos encontramos con dos casos:
a. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m  \) donde m es igual o mayor que tres.
b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \) donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.
En los dos casos \(  (A+B)^2  \) y \(   3AB  \) comparten el  factor común (A+B) y para eso A y B deben tener un factor común.
Atentamente.


13 Octubre, 2016, 11:09 am
Respuesta #82

Luis Fuentes

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Hola

Hola:
\(  A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3  \); \(  A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B)  \).
\( ( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB)  \).
Manco es aquí donde entra la K. Es decir \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K \).
Viendo esta expresión \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) simplemente indico que si A y B no comparten factor común \( (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) dicha expresión nunca será igual a una potencia.

El problema es que no demuestras la afirmación en rojo. No das ningún argumento que justifique que es cierta.

Citar
Es decir, \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB); (2+3)((2+3)^2-3·2·3); 5·((25-18)); 5·7  \). Obviamente no forma potencia.

Un ejemplo no dice nada. ¿Quién asegura que para otros números no pudiera ocurrir?.

Citar
Insisto, para que formen potencia \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \).entonces \(  ((A+B)^2  \) y \(   3AB)  \) tienen que poseer un factor común. Y la única forma es que A y B tengan factor común.

Insistes y lo puedes repetir mil veces. Pero no lo justificas.

Citar
La expresión \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \), los dos primeros componentes (A+B) siempre tendrá su factor común “obviedad” por lo tanto lo que produce que \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) sea potencia o no, es que \(  ((A+B)^2  \) y \(   3AB)  \) compartan factor común y para eso A y B deben tener un factor común.

Y vuelta a repetirlo sin mayor justificación.

Te voy a poner un ejemplo. ¿Y la expresión \( (A+B)((A+B)^2+2705AB) \)? ¿Puede ser una potencia sin que \( (A+B)^2 \) y \( 2705AB \) compartan factor común?¿Sin qué \( A \) y \( B \) compartan factor común?.

Yo puedo decirte y repetirte mil veces, pues no no es posible. Por ejemplo, \( (2+3)((2+3)^2+2705*2*3)=81275 \) que no es una potencia. ¿Ves?. ¡Es obvio, está claro!.

Spoiler
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para \( A=14 \) y \( B=13 \) se tiene que:

\( (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3 \)
[cerrar]

Saludos.

13 Octubre, 2016, 08:36 pm
Respuesta #83

Gonzo

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Hola.
Si \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) es potencia, nos encontramos con dos casos:
a. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m  \) donde m es igual o mayor que tres.
b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \) donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.
Tomemos el b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \); \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \); \( ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n) \); \( ((A+B)^2-((A+B)^{n-1} (k^n) = 3AB  \); \(  3AB = ((A+B)^2-((A+B)^{n-1} (k^n)  \). Introducimos T, siendo un entero positivo. \(  3AB = ((A+B)^m(k^n))T  \); \(  T= (3AB)/ (A+B)^m(k^n)  \); \(  T/(k^n) = (3AB)/ (A+B)^m  \). T/(k^n) es un entero para que la conjetura cumpla, sustituyámosla por Z. \(  Z = (3AB)/ (A+B)^m  \). Recordemos que la suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común \(  Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m  \). No obteniendo el entero deseado.
Cita del Manco.
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para A=14 y B=13 se tiene que: \(  (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3 \).
Señor eso es trampa. Porque si \(  (A+B)^3 \) por consiguiente 3.14.13. Recordemos el triangulo de pascal.
Atentamente.

14 Octubre, 2016, 11:42 am
Respuesta #84

Luis Fuentes

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Hola.
Si \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) es potencia, nos encontramos con dos casos:
a. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m  \) donde m es igual o mayor que tres.
b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \) donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo.

No. Eso no es así (y si piensas que esas son las dos posibilidades tienes que demostarlo).

Suponiendo que \( A \) y \( B \) son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  (\( A+B \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos) lo que se deduce de que  \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m  \) sea potencia es que \( C \) se debe de descomponer \( C=C_1C_2 \) en dos factores coprimos \( C_1 \) y \( C_2 \) de manera que:

\( A+B=C_1^m \)
\( (A+B)^2-3AB=C_2^m \)

Citar
Cita del Manco.
Pero estaría metiendo la pata. Por ejemplo para A=14 y B=13 se tiene que: \(  (14+13)((14+13)^2+2705*14*13)=13312053=237^3 \).
Señor eso es trampa. Porque si \(  (A+B)^3 \) por consiguiente 3.14.13. Recordemos el triangulo de pascal.

Lo que te indico es que tu simple afirmación de que \( (A+B)^2-3AB \) no puede ser una potencia no llega para afirmar que lo sea, porque esa simple afirmación se puede hacer igualmente sobre \( (A+B)^2+2705AB \).

Saludos.

14 Octubre, 2016, 09:16 pm
Respuesta #85

Gonzo

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\(  A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \). Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, \(  A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \), para cumplir conjetura, \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.
Nos guste o no nos guste, \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor \(  (A+B)  \) esta. Si estuviéramos frente la operación suma, puede o no puede estar. Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m  \).
b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \).
Creo que en esta cuestión hay poco que demostrar. No veo donde esta el problema.

Citar



Suponiendo que \( A \) y \( B \) son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  (\( A+B \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos) lo que se deduce de que  \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m  \) sea potencia es que \( C \) se debe de descomponer \( C=C_1C_2 \) en dos factores coprimos \( C_1 \) y \( C_2 \) de manera que:

\( A+B=C_1^m \)
\( (A+B)^2-3AB=C_2^m \)



Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con C^m?

15 Octubre, 2016, 11:12 pm
Respuesta #86

Luis Fuentes

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Hola.
\(  A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \). Trato o tratamos de encontrar el porque de que A y B compartan factor común. En este caso concreto, \(  A^3+ B^3 = (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \), para cumplir conjetura, \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) es potencia. Si no es potencia no hablamos de la Conjetura de Beal.

Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:

 \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \)

para algún \( C \) sin factores primos comunes con \( A \) y \( B \) y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente \( 3 \) de los dos primeros enteros).

Lo que pasa que hasta ahora no has sido capaz en absoluto de probar tal imposibildiad.

Citar
Nos guste o no nos guste, \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)  \) esta expresión, hablamos de la Conjetura de Beal, al adoptar forma de potencia, si o si, el factor \(  (A+B)  \) esta.

¿Qué tipo de argumento matemático es "si o si?. No obstante si entendemos bien la afirmación estoy de acuerdo con ella. De manera precisa:

i) Dado que \( A \) y \( B \) son coprimos, es fácil ver que \( (A+B) \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos.

ii) Por otro lado por el teorema fundamental de la aritmética \( C \) se puede escribir como producto de primos:

\( C=\underbrace{p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_2}}_{C_1}\underbrace{q_1^{n_1}\ldots q_s^{n_s}}_{C_2} \)

de esos primos unos serán factores de \( (A+B) \) (les he llamado \( p_i \)) y otros de \( ((A+B)^2-3AB) \) (les he llamado \( q_i \))

y por tanto:

De (i) y (ii) se deduce que:

\( (A+B)((A+B)^2-3AB)=C^m=(C_1)^m(C_2)^m \)

con \( C_1^m=A+B \) y \( C_2^m=((A+B)^2-3AB) \).

Citar
Por lo tanto, solo puede adoptar una de estas formas.
a. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m  \).

Esa primera forma correspondería ya queda claro de lo que he dicho antes que no puede darse (a no ser que \( m=1 \))

Citar
b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \).

Está segunda forma tampoco. Sólo si \( n=1 \).

Es decir en ningún caso aparece en \( C^m \) el factor \( (A+B) \) elevado a una potencia mayor que uno.

Si puede darse sin embargo el caso que indico. Y no has sido capaz de demostar que es imposible (¡yo tampoco soy capaz, eh, qué si fuese tendría una prueba de la conjetura de Beal y ni la tengo ni aspiro a tenerla!).

Citar
Citar
Suponiendo que \( A \) y \( B \) son coprimos, es decir, sin factores primos comunes,  (\( A+B \) y \( ((A+B)^2-3AB) \) también son coprimos) lo que se deduce de que  \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m  \) sea potencia es que \( C \) se debe de descomponer \( C=C_1C_2 \) en dos factores coprimos \( C_1 \) y \( C_2 \) de manera que:

\( A+B=C_1^m \)
\( (A+B)^2-3AB=C_2^m \)
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Opción que no he profundizado. ¿Puede usted facilitarnos algún ejemplo que cumpla con \( C^m \)?

No te entiendo. ¿Un ejemplo exactamente de qué y en qué condiciones?.  Desde luego no puedo ponerte un ejemplo de  \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \) con \( A,B,C \) coprimos porque entonces tendría un contraejemplo a la conjetura de Beal y probaría que es falsa; como es lógico no tengo tal contraejemplo. Nadie lo ha encontrado. Pero eso no prueba la conjetura, pero si hace sospechar a todo el mundo que es cierta.

Saludos.

16 Octubre, 2016, 09:26 am
Respuesta #87

Gonzo

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\(  A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3  \); \(  A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B)  \).
\( ( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB)  \); \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K \).
Dos casos:
a. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m  \) donde m es igual o mayor que tres.
b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \) donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo. A+B y K son coprimos ente si. (\(  6144^3+3072^3=192^5=2^6*3 \)).

Consideremos el caso b.
\(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \);
\( ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n) \);
\(  (A+B)^2 = ((A+B)^{n-1} (k^n) +3AB  \); \(  (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} (k^n) =3AB  \);
De \(  (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} k^n  \) saquemos un factor común y el resto llamémosle Z.
\( (3AB) = ((Z(A+B)  \); \(  Z = (3AB)/ (A+B)  \). La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común \(  Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m  \). No obteniendo el entero deseado.
¿Todo lo dicho no demuestra que en este caso concreto \(  A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B)  \) A y B posen un factor común?
Independientemente de la respuesta. En el caso n=3 de la conjetura de Beal, no hemos ni nombrado el siguiente caso. \(  A^3 + B^3+3AB(A+B) = (A+B)^3)  \). Donde los tres sumandos de la izquierda se agrupan en dos potencias.
Por no hablar del n= 4, 6, 8, etc. En donde A^n  +B^n, su suma no siempre contiene el factor común de A+B. Dicho factor común solo es constante si n=3,5,7, etc.


 
Citar

Si de acuerdo. Estamos bajo el supuesto de que:

 \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB)=C^m \)

para algún \( C \) sin factores primos comunes con \( A \) y \( B \) y queremos ver que eso es imposible; que nos lleva a una contradicción. Si eres capaz de probar tal imposibilidad tendríamos demostrada la conjetura de Beal (al menos el caso particular de exponente \( 3 \) de los dos primeros enteros).


Si se pudiera expresar en forma de quebrado, seria más facil.

16 Octubre, 2016, 03:37 pm
Respuesta #88

Luis Fuentes

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\(  A^3 + B^3+ 3AB(A+B) = (A+B)^3  \); \(  A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B)  \).
\( ( A+B)^3-3AB(A+B) =(A+B) ((A+B)^2-3AB)  \); \( (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)·K \).
Dos casos:
a. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = (A+B)^m  \) donde m es igual o mayor que tres.
b. \(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \) donde n es igual o mayor que tres y k es un número entero positivo. A+B y K son coprimos ente si. (\(  6144^3+3072^3=192^5=2^6*3 \)).

Consideremos el caso b.
\(  (A+B) ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^n) (k^n) \);
\( ((A+B)^2-3AB) = ((A+B)^{n-1} (k^n) \);
\(  (A+B)^2 = ((A+B)^{n-1} (k^n) +3AB  \); \(  (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} (k^n) =3AB  \);
De \(  (A+B)^2 -((A+B)^{n-1} k^n  \) saquemos un factor común y el resto llamémosle Z.
\( (3AB) = ((Z(A+B)  \); \(  Z = (3AB)/ (A+B)  \). La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común \(  Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m  \). No obteniendo el entero deseado.

Aquí has repetido exactamente lo mismo que en tus mensajes anteriores. Y ya te he explicado lo que está mal ahí. Debes de leerlos con calama y preguntar o discutir tus dudas u objecciones.

Resumo la cuestión:

Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir \( A,B,C \) sin factores comunes con: \( A^3+B^3=C^m \), porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

\( A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3 \) con \( (A+B)=C_1^3 \) y \( (A+B)^2-3AB=C_2^3 \) y \( C_1,C_2 \) coprimos

Y no has dado ningnr argumento que descarte esa posibilidad.

Citar
¿Todo lo dicho no demuestra que en este caso concreto \(  A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B)  \) A y B posen un factor común?

Si por "este caso concreto" te refieres a probar que si \( A^3+B^3=C^m \) entonces \( A \) y \( B \) tienen un factor común, entonce NO, lo dicho no lo demuestra por lo que acabo de comentarte arriba.

Si por "este caso concreto" te refieres a otra cosa no sé exactamente qué cosa es esa. Explícalo.
 
Citar
Si se pudiera expresar en forma de quebrado, seria más facil.

No sé que quieres decir con eso.

Saludos.

16 Octubre, 2016, 08:21 pm
Respuesta #89

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Los casos (a) y (b) que indicas efectivamente no pueden darse. Pero eso no llega para probar que no puedan existir \( A,B,C \) sin factores comunes con: \( A^3+B^3=C^m \), porque siguiendo tus líneas argumentales podría ocurrir que:

\( A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)=C_1^3C_2^3 \) con \( (A+B)=C_1^3 \) y \( (A+B)^2-3AB=C_2^3 \) y \( C_1,C_2 \) coprimos


Pero para que eso ocurre implica que A y B sean coprimos, cosa que descartamos con \( (3AB) = ((Z(A+B)  \); \(  Z = (3AB)/ (A+B)  \). La suma de dos números que no gozan de factor común es un tercer número sin factores comunes de los dos iníciales. El producto es distinto, el producto de dos números, siempre pose un factor común con los dos números iníciales. Por lo tanto, suponiendo que A y B no gozan de factor común \(  Z = (número con factor común con A y B) / (número sin factor común con A y B)^m  \). No obteniendo el entero deseado.
Señor si A y B son coprimos Z no es un entero. Dicha acción vulnera la conjetura ya que implicaria que \( (3AB) = (Z(A+B)  \); 3AB= número no entero. Por consiguiente A o B, o los dos, no serian integros.
En referencia al caso concreto, me refiero a \(  A^3 + B^3= (A+B)^3-3AB(A+B)  \). Los dos sumandos iniciales con potencias de grado 3 y a su lado todo el pitote que tiene que ser potencia.

Atentamente.