Autor Tema: Conjetura de Beal

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13 Enero, 2018, 10:56
Respuesta #160

Luis Fuentes

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Hola

 Por una simple manipulación de una ecuación no puedes pretender llegar a una contradicción (sin usar al menos de manera decisiva el carácter entero de los números). Sólo eso debería de hacerte sospechar que tienes un error de bulto.

 Este paso está mal:


\[  \color{blue}3a x^n + x^{2n}\color{black} = y^n - 3a^2  \];
\[  x^n  (3a+ \color{red}x^{2}\color{black}) = y^n - 3a^2  \];

Al sacar factor común te queda en realidad: \[ 3a x^n + x^{2n}= x^n(3a+\color{red}x^n\color{black}) \].

Saludos.

20 Enero, 2018, 05:16
Respuesta #161

Gonzo

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Hola.

Sean a y b dos números íntegros coprimos.

\[  (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3  \] recordemos el Triangulo de Pascal.

\[  (a+b)^3= a^3+ab(3a+3b)+b^3  \].

Consideremos que \[  ab(3a+3b)+b^3  \] es igual a una potencia.

Rápidamente se deduce que el resultado de la suma es un número multiplicado por b, es decir \[  ba(3a+3b)+b^3 =b^n  \] o \[  ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n  \] siendo n igual o mayor que 3. Condición de la conjetura.

\[  ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n  \];

\[  x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3  \];

\[  x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b) \]. Dividimos todo entre b.

\[  x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b)  \];

\[  x^n·b^{n-1} - b^2 = 3a^2+3ba  \]. Volvemos a dividir entre b.

\[  x^n·b^{n-2} - b = \displaystyle\frac{ 3a^2}{ b } +3a  \];

\[  x^n·b^{n-2} - b = 3( \displaystyle\frac{ a^2}{ b } +a)  \].

\[ a^2  \] y b son divisibles (contradicción), si no son divisibles el reusultado no es un número entero. ¿Cierto?


Atentamente.

23 Enero, 2018, 12:54
Respuesta #162

Luis Fuentes

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Hola

Sean a y b dos números íntegros coprimos.

\[  (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3  \] recordemos el Triangulo de Pascal.

\[  (a+b)^3= a^3+ab(3a+3b)+b^3  \].

Consideremos que \[  ab(3a+3b)+b^3  \] es igual a una potencia.

Rápidamente se deduce que el resultado de la suma es un número multiplicado por b, es decir \[  ba(3a+3b)+b^3 =b^n  \] o \[  ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n  \] siendo n igual o mayor que 3. Condición de la conjetura.

Ya te dije que eso no tiene porque ser así:

En ese caso que \[ b(3a^2+3ab+b^2) \] sea una potencia NO significa que ésta sea de la forma \[ b^nk^n \]. Por ejemplo \[ b \] podría ser de la forma \[ b=s^n  \], de manera que que \[ b(3a^2+3ab+b^2) \] fuese una enésima potencia simplemente significaría que \[ (3a^2+3ab+b^2) \] también lo es pero ya sin ninguna relación con \[ b \].

Esto ya invalida tus pretendidas generalizaciones.

Saludos.

23 Enero, 2018, 16:47
Respuesta #163

Gonzo

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Hola.

Luis respecto a:
\[  ab(3a+3b)+b^3  \].

Consideremos dos números \[  xj + yj  \], su suma es un número multiplicado por j. De las infinitas soluciones solo reflejo las de la conjetura, es decir que la suma sea \[  z^n·j^n  \]. Seguidamente sumo, resto y multiplico.

Que \[  3a^2+3ab+b^2=y^n \] sea o no cierto, es irrelevante para el siguiente razonamiento:

\[  x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3  \];

\[  x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b) \]. Dividimos todo entre b.

\[  x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b)  \];

Atentamente.

23 Enero, 2018, 18:16
Respuesta #164

Luis Fuentes

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Hola

Hola.

Luis respecto a:
\[  ab(3a+3b)+b^3  \].

Consideremos dos números \[  xj + yj  \], su suma es un número multiplicado por j. De las infinitas soluciones solo reflejo las de la conjetura, es decir que la suma sea \[  z^n·j^n  \]. Seguidamente sumo, resto y multiplico.

Que \[  3a^2+3ab+b^2=y^n \] sea o no cierto, es irrelevante para el siguiente razonamiento:

\[  x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3  \];

\[  x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b) \]. Dividimos todo entre b.

\[  x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b)  \];

No has entendido lo que te he indicado. Lo que te estoy diciendo que \[  ab(3a+3b)+b^3  \] puede ser una potencia enésima que no sea de la forma \[ b^nx^n \]. Puede ser de la forma \[ bx^n \]. De manera que al dividir por \[ d \] te queda:

\[  x^n - b^2 = a(3a+3b)  \]

y ahí no obtienes ninguna contradicción con la coprimalidad de \[ a \] y \[ b \].

Eso puede ocurrir si \[ b \] es de la forma \[ b=k^n \].

Saludos.

27 Enero, 2018, 04:43
Respuesta #165

Gonzo

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Hola.

Luis, ¿este razonamiento es erróneo?

\[  b^2+3a^2+3ab=x^n  \]. Dividimos todo entre 3.

\[  \displaystyle\frac{ b^2}{ 3 }+a^2+ab=\displaystyle\frac{ x^n }{ 3 }  \];

Por tanto, para que la que ecuación cumpla, consideremos que \[  b=3c; x^n=(3d)^n  \].

\[  3^2c^2+3a^2+3a3c=(3d)^n  \];

\[  3^2c^2+3a^2+3^2ac=3^nd^n  \] dividimos todo por 3.

\[  3c^2+a^2+3ac=3^{n-1}d^n  \];

\[  a^2+3ac=3^{n-1}d^n -3c^2  \];

\[  a(a+3c) = 3(3^{n-2}d^n -c^2)  \];

Recordemos que \[  a  \] y \[  b=3c  \] son coprimos. Su suma es un número sin ningún factor común con a y b.

Por tanto \[  a(a+3c)  \] es igual a un número multipliado por 3, por lo tanto, necesariamente a es igual a 3. ¿Cierto?


Atentamente.


27 Enero, 2018, 06:06
Respuesta #166

Luis Fuentes

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Luis, ¿este razonamiento es erróneo?

\[  b^2+3a^2+3ab=x^n  \]. Dividimos todo entre 3.

\[  \displaystyle\frac{ b^2}{ 3 }+a^2+ab=\displaystyle\frac{ x^n }{ 3 }  \];

Por tanto, para que la que ecuación cumpla, consideremos que \[  b=3c; x^n=(3d)^n  \].

Ahí ya está mal. Lo que se deduce de ahí es que \[ b^2-x^n \] es divisible por \[ 3 \], pero no necesariamente que individualmente \[ b \] sea divisible por \[ 3 \] y \[ x^n \] también sea divisible por \[ 3 \].

Citar
\[  a(a+3c) = 3(3^{n-2}d^n -c^2)  \];

Recordemos que \[  a  \] y \[  b=3c  \] son coprimos. Su suma es un número sin ningún factor común con a y b.

Por tanto \[  a(a+3c)  \] es igual a un número multipliado por 3, por lo tanto, necesariamente a es igual a 3. ¿Cierto?

Aunque ya no tiene importancia porque viene del error inicial, de manera precisa lo que deducirías de ahí es que \[ a \] ó \[ a+3c \] es múltiplo de \[ 3 \] y por tanto que a es múltiplo de \[ 3 \] en cualquier caso, pero no necesariamente que \[ a=3 \].

Saludos.

07 Febrero, 2018, 15:24
Respuesta #167

Gonzo

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Hola.

¿En que me equivoco esta vez?

\[  x^n-b^2=a(3a+3b) \] donde \[  b=k^n \];

\[  x^n-k^{2n}=a(3a+3k^n) \];

\[  x^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \]; Hagamos la siguiente suposición \[  x^n = (a+k)^n \].

\[  (a+k)^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \];

\[  (a)^n+ak()+k^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \]; Dos casos.

i. \[  (a)^n+k^n = k^{2n}; ak()= a(3a+3k^n) \]; No cumple lo establecido. Porque . \[  (a)^n=k^n \].

ii. \[  a(a^{n-1}+k())+k^n=k^{2n} +a(3a+3k^n) \]; \[  k^n=f(a) \]

¿Cierto?

Atentamente.

08 Febrero, 2018, 07:24
Respuesta #168

Luis Fuentes

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Hola.

¿En que me equivoco esta vez?

\[  x^n-b^2=a(3a+3b) \] donde \[  b=k^n \];

\[  x^n-k^{2n}=a(3a+3k^n) \];

\[  x^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \]; Hagamos la siguiente suposición \[  x^n = (a+k)^n \].


Hace esa suposición te coloca ya muy lejos del caso general. Estarías analizando sólo una ecuación del tipo:

\[ (a+k^n)^3=a^3+k^n(a+k)^n \] (*)

Citar
\[  (a+k)^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \];

\[  (a)^n+ak()+k^n = k^{2n} + a(3a+3k^n) \]; Dos casos.

i. \[  (a)^n+k^n = k^{2n}; ak()= a(3a+3k^n) \]; No cumple lo establecido. Porque . \[  (a)^n=k^n \].

ii. \[  a(a^{n-1}+k())+k^n=k^{2n} +a(3a+3k^n) \]; \[  k^n=f(a) \]

Si, efectivamente la relación (*) te permite despejar \[ k \] en función de \[ a \].

Saludos.

09 Febrero, 2018, 04:31
Respuesta #169

Gonzo

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Hola.

Recordemos que:

a y b dos números íntegros coprimos.

\[  (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3  \] recordemos el Triangulo de Pascal.

\[  (a+b)^3= a^3+ab(3a+3b)+b^3  \].

Consideremos que \[  ab(3a+3b)+b^3  \] es igual a una potencia.

Rápidamente se deduce que el resultado de la suma es un número multiplicado por b, es decir \[  ba(3a+3b)+b^3 =b^n  \] o \[  ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n  \] siendo n igual o mayor que 3. Condición de la conjetura.

\[  ab(3a+3b)+b^3 =x^n·b^n  \];

\[  x^n·b^n = ab(3a+3b)+b^3  \];
 

\[  x^n·b^n - b^3 = ab(3a+3b) \]. Dividimos todo entre b.

\[  x^n·b^{n-1} - b^2 = a(3a+3b)  \];

\[  x^n·b^{n-1} - b^2 = 3a^2+3ba  \]. Volvemos a dividir entre b.

\[  x^n·b^{n-2} - b = \displaystyle\frac{ 3a^2}{ b } +3a  \];

\[  x^n·b^{n-2} - b = 3( \displaystyle\frac{ a^2}{ b } +a)  \].

\[ a^2  \] y b son divisibles (contradicción), si no son divisibles el reusultado no es un número entero.

Luis decía que cabría la posibilidad de:

\[  x^n·b = ab(3a+3b)+b^3  \]. Donde \[  b = k^n  \]. En este caso concreto el caso general:

\[  (a+k^n)^3 = a^3+k^{3n}+3ak^n(a+k^n)  \]

Consideremos que \[  k^{3n} +3ak^n(a+k^n)  \] es potencia enésima.

\[  k^n(k^{2n} +3a(a+k^n))  \];

Consideremos que \[  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \] es igual a potencia enésima.

Por lo tanto \[  (k+d)^n = (k^{2n} +3a(a+k^n))  \]. Pero si se cumpliera la igualdad, de acuerdo con el triángulo de Pascal \[  3a= kd \]. Y todas las variables estarían en función de a.

¿Cierto?

Atentamente.

09 Febrero, 2018, 06:29
Respuesta #170

Luis Fuentes

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Citar
Por lo tanto \[  (k+d)^n = (k^{2n} +3a(a+k^n))  \]. Pero si se cumpliera la igualdad, de acuerdo con el triángulo de Pascal \[  3a= kd \]. Y todas las variables estarían en función de a.

¿Cierto?

No, no está bien.

No veo ningún motivo para que la igualdad azul se deduzca la afirmación que haces en rojo.

Si sigues pensando que tu afirmación es correcta detalla al máximo su justificación.

Saludos.

10 Febrero, 2018, 07:39
Respuesta #171

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Consideremos que \[  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \] es igual a potencia enésima.

\[  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \];

\[  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \];

\[  kd()+d^n = 3a(a+k^n) + k^n  \];

\[  kd()+d^n = 3a^2+3ak^n + k^n  \];

\[  kd()+d^n = 3a^2+ k^n(3a+1)  \];

\[  kd()+d^n = 3a^2+ k(k^{n-1})(3a+1)  \];

\[  kd()+d^n =  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \];

\[  kd()+d^n  \] los dos sumandos poseen un factor común.

Por lo tanto \[  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \], ¿debe tener un factor común? para que cumplan con la igualdad.

Atentamente.

11 Febrero, 2018, 05:14
Respuesta #172

Gonzo

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Consideremos que \[  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \] es igual a potencia enésima.

\[  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \];

\[  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \];

Pero si considero que \[  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \]. ¿Por qué no puedo considerar que \[  (k+k)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \]?
Porque \[  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n)) + k^n  \]. Todo seria mucho más fácil.

Atentamente.

11 Febrero, 2018, 06:30
Respuesta #173

Luis Fuentes

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Hola

Hola.

Consideremos que \[  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \] es igual a potencia enésima.

\[  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \];

\[  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \];

\[  kd()+d^n = 3a(a+k^n) + k^n  \];

\[  kd()+d^n = 3a^2+3ak^n + k^n  \];

\[  kd()+d^n = 3a^2+ k^n(3a+1)  \];

\[  kd()+d^n = 3a^2+ k(k^{n-1})(3a+1)  \];

\[  kd()+d^n =  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \];

\[  kd()+d^n  \] los dos sumandos poseen un factor común.

Por lo tanto \[  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \], ¿debe tener un factor común? para que cumplan con la igualdad.

Si te refieres a si \[ k(k^{n-1})(3a+1) \] y \[ 3a^2 \] tienen que tener un factor común, la respuesta es NO necesariamente. Nada de lo anterior impide que esos dos sumandos puedan ser coprimos.

Consideremos que \[  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \] es igual a potencia enésima.

\[  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \];

\[  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \];

Pero si considero que \[  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \]. ¿Por qué no puedo considerar que \[  (k+k)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \]?
Porque \[  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n)) + k^n  \]. Todo seria mucho más fácil.

Pero no sé que quieres decir con eso. Si tomas \[ d=k \] estás tomando un caso particular y ...¡claro que sería más sencillo!.

Es como si en el teorema de Fermat en vez de \[ x^n+y^n=z^n \] tomo \[ x^n+x^n=z^n \] y entonces es trivial que no existe solución entera.

Saludos.

11 Febrero, 2018, 07:09
Respuesta #174

Gonzo

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Hola.

Consideremos que \[  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \] es igual a potencia enésima.

\[  k^n +3a(a+k^n) + k^n  \];

Mediante similitud con el triángulo de Pascal (fijémonos en los extremos \[  k^n +… + k^n  \]) no podemos considerar que:

\[  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \]

Atentamente.

11 Febrero, 2018, 08:14
Respuesta #175

Luis Fuentes

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Hola

Hola

 No entiendo nada.

Consideremos que \[  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \] es igual a potencia enésima.

¿Y qué tiene que ver eso con lo que pones a continuación?.

Citar
\[  k^n +3a(a+k^n) + k^n  \];

Mediante similitud con el triángulo de Pascal (fijémonos en los extremos \[  k^n +… + k^n  \]) no podemos considerar que:

\[  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \]

No estoy seguro de entenderte. En general si tienes \[ k^n +3a(a+k^n) + k^n \] nada garantiza que sea igual a \[ (k+k)^n \]. Sólo será igual para una valor concreto de \[ a \].

Saludos.

11 Febrero, 2018, 08:50
Respuesta #176

Gonzo

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Hola.

Si, si que lo ha entendido.

\[  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \]

En este caso \[  3a() = k^2()  \] por tanto a depende de k, recordemos que \[  b=k^n \] por tanto en este caso concreto a y b poseen un factor común.

Pero decir que \[  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \] tiene que cumplirse para todas los valores en que \[   k^n +3a(a+k^n) + k^n  \] sea potencia enésima, es muy arriesgado. ¿Cierto?

Atentamente.

12 Febrero, 2018, 06:29
Respuesta #177

Luis Fuentes

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Pero decir que \[  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \] tiene que cumplirse para todas los valores en que \[   k^n +3a(a+k^n) + k^n  \] sea potencia enésima, es muy arriesgado. ¿Cierto?

No es que sea arriesgado ni no arriesgado. Simplemente si se pretende defender esa afirmación habría que argumentarlo. Y yo no veo ningún motivo por el cual tenga que ser así. Es decir es una suposición gratuita.

Por otra parte no sé porque insistes en \[   k^n +3a(a+k^n) + k^n  \] si lo que tienes de tu desarrollo previo es que \[ (k^{2n} +3a(a+k^n)) \] es potencia enésima.

Saludos.

12 Febrero, 2018, 16:50
Respuesta #178

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Hola.

Cierto que \[  (k)^{2n} = k^n + k^n  \] esta mal.

Pero.

\[  (k+d)^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n)  \];

\[  k^{2n} + kd() + d^{2n}  = k^{2n} +3a(a+k^n)  \];

\[  kd() + d^{2n}  = 3a(a+k^n)  \];

\[  d(k()+d^{2n-1}) = 3a(a+k^n)  \];

\[  (k()+d^{2n-1}) = \displaystyle\frac{ (3a(a+k^n))}{ d }  \];

i. \[  \displaystyle\frac{(a+k^n)}{ d }  \]

ii. \[  \displaystyle\frac{(3a)}{ d }  \];

En alguno de los dos casos mencionados, las divisiones deberían ser igual a un número íntegro. i. y ii, si alguno de los dos cumple con lo establecido, entonces d tendría un factor común con alguno de los dividendos. ¿Cierto?

Atentamente.



12 Febrero, 2018, 20:34
Respuesta #179

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Hola

Cierto que \[  (k)^{2n} = k^n + k^n  \] esta mal.

Pero.

\[  (k+d)^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n)  \];

\[  k^{2n} + kd() + d^{2n}  = k^{2n} +3a(a+k^n)  \];

\[  kd() + d^{2n}  = 3a(a+k^n)  \];

\[  d(k()+d^{2n-1}) = 3a(a+k^n)  \];

\[  (k()+d^{2n-1}) = \displaystyle\frac{ (3a(a+k^n))}{ d }  \];

i. \[  \displaystyle\frac{(a+k^n)}{ d }  \]

ii. \[  \displaystyle\frac{(3a)}{ d }  \];

En alguno de los dos casos mencionados, las divisiones deberían ser igual a un número íntegro. i. y ii, si alguno de los dos cumple con lo establecido, entonces d tendría un factor común con alguno de los dividendos. ¿Cierto?

No exactamente. No tiene porque ocurrir (no al menos sin algún argumento adicional) que (i) o (ii) sean enteros. Algún factor primo de \[ d \] podría ser divisor de \[ 3a \] y otros de \[ a+k^n \].

Ahora si supones \[ a \] y \[ k \] coprimos, entonces \[ a \] y \[ d \] también tienen que ser coprimos luego se deduce que \[ \dfrac{3(a+k^n)}{d} \] es entero.

No, ni siquiera \[ a \] y \[ d \] tienen porque ser coprimos.

Saludos.

CORREGIDO