No sé si he terminado de entenderte... Simultáneamente dices que preguntan tanto por la cantidad de las acciones como por su valor... Yo voy a dar por hecho que te refieres a la primera (la cantidad de cada una) y que el valor de las acciones se conoce.
Tomamos la siguiente notación:
\( \begin{array}{rcl}
C_{A} & \equiv & \text{N"o de acciones tipo Alfa} \\
C_{P} & \equiv & \text{N"o de acciones tipo Pi'n'on} \\
C_{V} & \equiv & \text{N"o de acciones tipo Vitro}
\end{array} \)
Entonces tenemos el siguiente esquema:
\( \begin{array}{rrcl}
\text{D'ia 21/11} \colon & 16{'}98 \cdot C_{A} + 9 \cdot C_{P} + 9 \cdot C_{V} & = & 138{.}900 \\
\text{D'ia 28/11} \colon & 15{'}90 \cdot C_{A} + 8{'}72 \cdot C_{P} + 8{'}52 \cdot C_{V} & = & 131{.}220 \\
\text{D'ia 05/12} \colon & 14{'}08 \cdot C_{A} + 8{'}20 \cdot C_{P} + 8{'}76 \cdot C_{V} & = & 121{.}280
\end{array} \)
Lo cual es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas con todas las de ser un sistema compatible. Lo paso a sistema matricial por comodidad.
\( \underbrace{\begin{pmatrix}
16{'}98 & 9 & 9 \\
15{'}90 & 8{'}72 & 8{'}52 \\
14{'}08 & 8{'}20 & 8{'}76
\end{pmatrix}}_{M} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}
C_{A} \\
C_{P} \\
C_{V}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
138{.}900 \\
131{.}220 \\
121{.}280
\end{pmatrix}}_{b} \)
Si quieres saber de antemano que tiene solución, pruebas a calcular el determinante de la matriz de coeficientes M y ves si es no nulo. O si no, atacas directamente y ya te darás cuenta durante el procedimiento.
Lo primero en G-S es hacer que el primer elemento de la matriz extendida sea no nulo intercambiando filas (no hace falta porque no hay ningún 0). Después eliminas los elementos por debajo del elemento diagonal de la primera columna (dejando intacta la primera fila).
\( \begin{pmatrix}
16{'}98 & 9 & 9 & || & 138{.}900 \\
15{'}90 & 8{'}72 & 8{'}52 & || & 131{.}220 \\
14{'}08 & 8{'}20 & 8{'}76 & || & 121{.}280
\end{pmatrix} \Longrightarrow \left\lbrace
\begin{array}{rcl}
F_{2} & \rightarrow & F_{2} - \frac{15{'}90}{16{'}98} F_{1} \\
&& \\
F_{3} & \rightarrow & F_{3} - \frac{14{'}08}{16{'}98} F_{1}
\end{array} \right. \)
\( \big( M || b \big) \sim \begin{pmatrix}
16{'}98 & 9 & 9 & || & 138{.}900 \\
0 & 0{'}29 & 0{'}09 & || & 1{.}154{'}63 \\
0 & 0{'}73 & 1{'}30 & || & 6{.}102{'}61
\end{pmatrix} \)
Ahora tocaría comprobar que en el elemento diagonal de la segunda columna no es nulo (si lo fuera, habría que cambiar la segunda fila por la tercera). Una vez hecho ese paso, ahora se harían ceros en la segunda columna (tanto por encima como por debajo de la diagonal).
Se obtendría una nueva matriz, se vuelve a comprobar que el elemento diagonal de la tercera columna no es cero y se hacen transformaciones para hacer ceros todos los elementos de esa columna (salvo el diagonal).
Con eso ya se tendría un sistema diagonal y lo único que quedaría es despejar los coeficientes resultantes para cada variable.
PD: No hago más cuentas pq son muchos decimales y es un peñazo hacer tanta cuenta con tanto decimal aparte para pasarlo aquí a Latex. Sin embargo, es muy cómodo si se usa un programa tipo Maxima, Octave, etc. Además, como no termino de saber si el problema es el método o que te dieron el enunciado tal cual lo has puesto y tampoco sabes qué resolver, es mejor que no me exceda en rolllo
