Autor Tema: sistema de ecuaciones

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14 Agosto, 2015, 05:27 am
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cristhiam

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Hola, tengo problemas con este sistema de ecuaciones lineales, lo hice pero no me sale la comprobación, me podrían decir si tiene o no solución, si la tiene me ayudan con la solución(ojo: no les pido el procedimiento)

\(  \left\{ \begin{array}{c} 3a -11b =5 \\ 2a +4b =1 \end{array}\right  \)

Nota: no coloque el procedimiento pues no me sale su comprobación.


14 Agosto, 2015, 06:33 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola Cristhiam


Primero, El sistema se puede poner en forma matricial y queda así:

\( \begin{bmatrix}{3}&{-11}\\{2}&{4}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}{a}\\{b}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}\\{1}\end{bmatrix}  \)


Ahora si llamamos A a la matriz   \( \begin{bmatrix}{3}&{-11}\\{2}&{4}\end{bmatrix} \)     y calculamos su determiante

det(A)=12+22=34


Como el determinante es distinto de cero podemos decir que el sistema tiene solución única.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Agosto, 2015, 06:54 am
Respuesta #2

cristhiam

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gracias ingmarov, por un momento me incline que este sistema no tenia solución(yo lo hice mediante los métodos algebraicos) veo que obteniendo el determinante del sistema es una forma rápida y fácil de saberlo.

Saludos.

14 Agosto, 2015, 07:01 am
Respuesta #3

ingmarov

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Te hago una pregunta


Si A es una matriz cuadrada de nxn

¿Cuál es el resultado de multiplicar?   \( A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=? \)



Luego que me respondas te mostraré algo interesante


Debí preguntar primero ¿Ya estudiaste algo sobre la matriz inversa? Si mal no recuerdo creo que sí, ya has publicado temas relacionados a esto.

La parte interesante la dejo en el spoiler, faltan muchas explicaciones

Spoiler
Si el sistema que tienes lo representamos por

Ax=b

¿Qué resulta si multiplicamos por la izquierda a ambos lados por la inversa de A?

\( A^{-1}Ax=A^{-1}b \)

[cerrar]



Añado

gracias ingmarov, por un momento me incline que este sistema no tenia solución(yo lo hice mediante los métodos algebraicos) veo que obteniendo el determinante del sistema es una forma rápida y fácil de saberlo.

Saludos.

Te recuerdo que si el determinante es cero, tienes dos posibilidades, el sitema tiene infinitas soluciones o el sistema no tiene soluciones
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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16 Agosto, 2015, 07:56 am
Respuesta #4

cristhiam

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Te hago una pregunta

Si A es una matriz cuadrada de nxn

¿Cuál es el resultado de multiplicar?   \( A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=? \)

Luego que me respondas te mostraré algo interesante


Debí preguntar primero ¿Ya estudiaste algo sobre la matriz inversa? Si mal no recuerdo creo que sí, ya has publicado temas relacionados a esto.


de esto: ¿Cuál es el resultado de multiplicar?   \( A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=? \) ..obtengo una matriz identidad 2x2...



La parte interesante la dejo en el spoiler, faltan muchas explicaciones

Spoiler
Si el sistema que tienes lo representamos por

Ax=b

¿Qué resulta si multiplicamos por la izquierda a ambos lados por la inversa de A?

\( A^{-1}Ax=A^{-1}b \)

[cerrar]


lo revisare, gracias ingmarov que tengas un buen día.

Saludos.


16 Agosto, 2015, 06:05 pm
Respuesta #5

ingmarov

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Revisa esto

Como ya te he dicho el sistema lo podemos representar en forma matricial por:

\( \begin{bmatrix}{3}&{-11}\\{2}&{4}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}{a}\\{b}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}\\{1}\end{bmatrix}  \)

Ahora tenemos

\( \begin{bmatrix}{3}&{-11}\\{2}&{4}\end{bmatrix} \)

det(A)=12+22=34

y

\( A^{-1}=\dfrac{1}{34}\begin{bmatrix}{4}&{11}\\{-2}&{3}\end{bmatrix} \)




Ahora multiplicamos por la izquierda a ambos lados por la inversa de A.

\( \dfrac{1}{34}\begin{bmatrix}{4}&{11}\\{-2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{3}&{-11}\\{2}&{4}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}{a}\\{b}\end{bmatrix}=\dfrac{1}{34}\begin{bmatrix}{4}&{11}\\{-2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{5}\\{1}\end{bmatrix}  \)


Si haces todas las multiplicaciones verás, al final, que el sistema ha quedado resuelto.


Saludos
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