Hola
Sea \( E_n(R) \) una bola de dimensión \( n \) de radio \( R \) \( n \), es decir, para \( n=1 \) un segmento \( [-1,1] \) ; para \( n=2 \) un círculo; para \( n=3 \) una esfera; para \( n=4 \) una hiperesfera.
Aquí tienes descrito como calcular su área (entendiada como la medida de la frontera de la bola) y volumen (entendido como la medida de la bola):
https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area En concreto se puede probar que:
\( volumen(E_n(1))=\dfrac{1}{n}area(E_{n}(1)) \)
\( area(E_n(1))=2\pi volumen (E_{n-2}(1)) \)
Para \( n=2 \), es decir el círculo, sabemos que:
\( area(E_2(1))=2\pi \) (ojo porque área significa "medida de la frontera del círculo", es decir, lo que solemos llamar perímetro).
\( volumen(E_2(1))=\pi \)
Para \( n=3 \), es decir la esfera, sabemos que:
\( area(E_3(1))=4\pi \)
\( volumen(E_3(1))=\dfrac{4}{3}\pi \)
Para \( n=4 \), es decir, la hiperesfera cuatridimensional:
\( area(E_4(1))=2\pi volumen(E_2(1))=2\pi ^2 \)
\( volumen (E_4(1))=\dfrac{1}{4}area(E_4(1))=\dfrac{\pi ^2}{2} \)
Todo esto es para radio \( 1 \). Para radio \( R \) quedaría:
\( area(E_n(R))=area(E_n(1))R^{n-1} \)
\( volumen(E_n(R))=volumen(E_n(1))R^{n} \)
En tu caso para \( n=4 \):
\( area(E_4(R))=2\pi ^2 R^3 \)
\( volumen (E_4(R))=\dfrac{1}{4}area(E_4(R))=\dfrac{\pi ^2R^4}{2} \)
Saludos.
