[Michel]

Dado un triángulo equilátero ABC, de lado a, se construye al exterior una semicircunferencia de diámetro BC.
Los puntos X e Y dividen a la semicircunferencia en tres arcos iguales.
Demostrar que las rectas AX y AY dividen al lado BC en tres partes iguales.

[Michel]

Por ser iguales los arcos BX, XY e YC,  los segmentos correspondientes son los lados del hexágono regular inscrito; por tanto, el ángulo MBX vale 60º, así como el ángulo ACB, ángulo del triángulo equilátero dado.

Entonces los triángulos MBX y MCA son semejantes: 

\( \displaystyle\frac{BM}{MC}\displaystyle\frac{BX}{AC}=\displaystyle\frac{a/2}{a}=\dfrac{1}{2} \)

Por tanto:  \( BM=\frac{1}{2}MC \)

Por simetría:  \( CN=\frac{1}{2}MC \)

Resulta, pues, que los segmentos BM, MN y NC son iguales.