Hola!
Yo te propongo la fórmula de derivación logarítmica cuando tenemos una función potencial-exponencial:
Si \( y(x)=[u(x)]^{v(x)}\equiv y=u^v\Rightarrow \ln(y)=v\cdot \ln(u) \).
Ahora derivamos la última expresión implicitamente, teniendo en cuenta que \( y, u, v \) son funciones de \( x \):
\( \displaystyle \frac {y'}y=v'\cdot \ln(u)+v\cdot \frac{u'}u \)
Dado que queremos calcular \( y' \), pasamos \( y \) al otro lado multiplicando a todo:
\( \displaystyle y'=y\cdot \left[v'\cdot \ln(u)+v\cdot \frac{u'}u\right] \)
Finalmente, cambiamos que \( y=u^v \) y ya la tenemos:
\( \displaystyle \fbox{y'=u^v\cdot \left[v'\cdot \ln(u)+v\cdot \frac{u'}u\right]} \)
Deducir la fórmula es bastante más fácil que ponerse a derivar ese monstruo, sobre todo cuando componen con otras funciones.
En tu caso:
\( u=x-1,\,\,v=x,\,\,u'=1,\,\,v'=1. \)
Luego
\( f'(x)=(x-1)^x\cdot \left[\ln(x-1)+\frac x{x-1}\right] \)
Para la gráfica, habría que hacer el estudio. Seguimos estos pasos:
1) Dominio
El dominio son todos los valores \( x \) para los que tiene sentido calcular la función. En este caso y para verlo claro, hacemos el cambio que tú propones para hacer aparecer el logaritmo. De hecho: \( f(x)=e^{x\ln(x-1)} \), que tiene sentido donde lo tenga el logaritmo, es decir, cuando \( x-1>0\to x>1 \) Luego \( Dom(f)=(1,+\infty) \).
2) Cortes con ejes
Dado que \( x=0\notin Dom(f) \), sólo estudiamos el corte con el eje \( X \). Para ello, hacemos \( y=0 \) obteniendo:
\( \diamondsuit y=0\to (x-1)^x=0\to x-1=0\to x=1 \). Pero, de nuevo, \( 1\notin Dom(f) \). Lo único que sabemos es que \( \lim_{x\to 1^+}f(x)=0 \)
3) Simetrías
No tiene simetrías (tienen sentido si el dominio es toda la recta real).
4) Periodicidad
No tiene, por no ser trigonométrica
5) Monotonía y óptimos
Tomamos la derivada en el apartado anterior y la igualamos a cero.
\( f'(x)=(x-1)^x\cdot \left[\ln(x-1)+\frac x{x-1}\right]=0 \)
La exponencial no se hace cero en el dominio, y de las dos funciones del corchete, \( \ln(x-1)+\frac x{x-1}>0 \)
Luego esta función siempre es creciente (puedes dar algunos valores a partir de 1 para verlo.
6) Finalmente, no hay asíntotas, porque no hay horizontales: \( lim_{x\to +\infty}(x-1)^x=+\infty \) e igualmente para las oblicuas \( \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty \)
Así, tu función es:
enlace a la gráfica:
https://www.desmos.com/calculator/ragkrn1yzh
