Autor Tema: Polinomios de Bernoulli

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16 Junio, 2015, 10:56 am
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penrose

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hola, una pregunta acerca de los polinomios de Bernouilli.He estado jugueteando con
ellos y he comprobado que para un n impar ( al menos para 3,5,7y9 ) la función
polinómica cumple que :

\( B_n (2) = n \)

Tengo dos preguntas : ¿cómo puedo probar que el resultado es general?¿el método de inducción serviría?¿de ser el resutado general acorde con lo arriba descrito no sería un generador de los números naturales?

16 Junio, 2015, 11:40 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

hola, una pregunta acerca de los polinomios de Bernouilli.He estado jugueteando con
ellos y he comprobado que para un n impar ( al menos para 3,5,7y9 ) la función
polinómica cumple que :

\( B_n (2) = n \)

Tengo dos preguntas : ¿cómo puedo probar que el resultado es general?¿el método de inducción serviría?¿de ser el resutado general acorde con lo arriba descrito no sería un generador de los números naturales?


Los polinomios de Bernoulli cumplen la relación recursiva:

\( B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^k \)

Por tanto para \( n>1 \):

\( B_n(2)=B_n(1+1)=B_n(1)+n1^{n-1}=B_n(1+0)+n=B_n(0)+n+n\cdot 0^{n-1}=B_n(0)+n \)

Ahora ten en cuenta que \( B_n(0) \) es el número de Bernoulli \( B_n \), que para \( n \) impar vale cero.

Saludos.

P.D. Has puesto la pregunta en el foro de Discusiones semi-públicas; éste está pensando para llevar debates con algún conocido sin importarte que lo vean otros miembros del foro. Si en realidad tu objetivo no era ese, sino preguntar en general por esta cuestión a cualquier usuario del foro, dímelo y lo muevo al lugar adecuado.

16 Junio, 2015, 04:57 pm
Respuesta #2

penrose

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hola
gracias por la ayuda.Y sí,mi intención era que cualquier persona lo leyera y pudiese darme una idea.