1. Un triángulo rectángulo isósceles tiene como perímetro 2a. Determina su área en función del valor de a.
2. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, cada uno de los lados determina un arco en el que se inscribe un ángulo. Determina la suma de los cuatro ángulos.
3. a. Si en un cilindro de 8 m de radio y 3 metros de altura añadimos una cierta cantidad al radio se obtendrá el mismo volumen que si se añade esa misma cantidad a la altura. Determina esa cantidad que hace que los volúmenes sean iguales y cuáles son los volúmenes inicial y final del cilindro.
b. En una pirámide de base cuadrada, de lado a y altura h, expresa la medida de la arista en función del lado y la altura.
Para el segundo no se como mostrar una figura
Yo te explico el primero, que, si no, se me hace muy largo.
Por otra parte, no puedo explicar sin ir resolviendo algunas cosas; bueno, sí puedo, pero es como no decir nada entonces.
Expresa el perímetro en función de los lados y la hipotenusa dándoles un nombre; por ejemplo, a los catetos (que son iguales) les llamas “b” y a la hipotenusa “c”; el perímetro es, como sabrás, la suma de todos los lados del triángulo; esto:
\( per\acute{\imath}metro=b+b+c=2b+c
\)
Y también el perímetro es igual a “2a”, porque te lo dice; o sea:
\( {\color{blue}2b+c=2a}
\)
Se trata de que expreses el área ( que es \( \acute{a}erea=\dfrac{b^{2}}{2}
\)) con una expresión en la que sólo aparezca la letra “a” y números; por tanto, lo primero que hay que hacer es ver cómo ponemos “b” y “c” escritas en función de “a”, es decir, con una fórmula en la que sólo aparezca “a”.
Para ello tienes que echar mano de lo que sepas, como el teorema de Pitágoras, y así podremos expresar “c” en función de “b” (o b en funcin de “c”, pero no interesa porque en la fórmula del área aparece “b”).
\( b^{2}+b^{2}=c^{2}
\) o sea \( 2b^{2}=c^{2}
\) y finalmente \( c=\sqrt{2b^{2}}
\)
Que se puede expresar así
\( c=\sqrt{2}\sqrt{b^{2}}
\) y queda \( c=\sqrt{2}\cdot b
\) (si no vieras algún paso entodo esto que voy haciendo, pregunta).
Ahora podemos sustituir “c” en la fórmula azul del perímetro por esta expresión que hemos sacado, y nos queda así:
\( 2b+\sqrt{2}\cdot b=2a
\)
Fíjate que “b” es factor común, en la izquierda, está multiplicando a los dos sumandos, o sea que se puede escribir así
\( b\cdot(2+\sqrt{2})=2a
\)
Si multiplicas eso usando la propiedad distributiva es lo mismo de antes, ¿no?
Luego ahora puedes despejar dejando sola a “b” y tienes la expresión de “b” en función de “a”, o sea, escrita en una cuenta donde sólo aparece “a” y números.
El resto del problema es simplmente expresar el área y ya tienes lo que necesitabas.
