Hola
Un añadido. Por la solución que pones:
\( x+x+ \sqrt{x^2+x^2}= 2a \) =
despejo x =
\( x=2a - \sqrt{2}a , x=2a + \sqrt{2}a \)
sospecho que para resolver la ecuación:
\( 2x+\sqrt{2x^2}=2a \)
elevaste al cuadrado:
\( \sqrt{2x^2}=2a-2x \)
\( 2x^2=(2a-2x)^2 \)
\( x^2-4ax+2a^2=0 \)
de donde:
\( x=2a\pm \sqrt{4a^2-2a^2}=2a\pm a\sqrt{2} \)
El problema es que cuando uno eleva al cuadrado la raíz en una ecuación a veces introdude soluciones falsas. El motivo es que es cierto que \( a=b \) implica \( a^2=b^2 \) pero no es cierto que \( a^2=b^2 \) implique \( a=b \) (por ejemplo \( 2^2=(-2)^2 \) pero \( 2=-2 \)).
En tu caso al elevar al cuadrado estás hallando soluciones de la ecuación:
\( 2x\pm \sqrt{2x^2}=2a \)
Aun más, si te fijas en el significado geométrico de lo que estamos haciendo es imposible que:
\( x=2a+\sqrt{2}a>2a \)
ya que el lado del triángulo no puede ser mayor que el perímetro.
La otra solución que te salía:
\( x=2a-\sqrt{2}a \)
es la misma que obtuvo aladan ya que:
\( x=\dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{2a(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=a(2-\sqrt{2}) \)
Saludos.
