[Von Damian]

Dado un triángulo ABC, sea O su baricentro, probar que el triángulo formado por los puntos medios de AB, AC, BC, tiene el mismo baricentro que ABC.

[ingmarov]

Hola

Comparto una imagen.

Imagino que PabloN esta escribiendo algo para responder  y por eso no escribiré por el momento.



Espero que les sirva la imagen.

Saludos

Quizás te sirva saber que todos los triángulos pequeños (ADF, DEF, DEB, CEF) son congruentes entre ellos y a la vez semejantes al triánguo ABC. Lo puedes probar usando uno de los teoremas de Thales

[Von Damian]

Había pensado en lo siguiente: si demostramos que cualquiera de las medianas pasa por el punto medio del triángulo pequeño entonces por razonamiento análogo concluimos, pero como pruebo que el punto de corte de cualquiera de las medianas con el triángulo pequeño es el punto medio de ese lado del triángulo prqueño?

[Michel]

HOLA Von Damian.

Demuestra (no es difícil) que cualquier mediana, por ejemplo CD (magnífica figura de ingmarov) biseca a toda paralela al lado AB.

Dime cómo te ha ido.

Saludos

[Von Damian]

A mi entender primero deberíamos demostrar que \( CB \left |{}\right |FD \), y por razonamiento análogo los otros lados, ¿no?

[Von Damian]

Lo que he dicho anteriormente es sencillo de demostrar, así que vayamos a la proposición que enunciaste antes.
He pensado que se podría demostrar por Thales, como \( FD\left |{}\right |CB \) considerando la recta \( AE \) que corta a \( FE \) en un punto P de la recta \( FD \), este debe verificar que \( 1=\displaystyle\frac{CE}{EB}=\displaystyle\frac{FP}{PD} \) Y por lo tanto P es el punto medio de \( FD \)

[Michel]

Hola Von Damian.

Naturalmente hay que saber (y demostrar) que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

Pero yo te hablo del caso en que se trate de una paralela a un lado, sin que pase necesariamente por los puntos medios; esta paralela es bisecada por la mediana. Y el caso general incluye a todos los casos particulares.

Espero que entiendas; en caso contrario, ya sabes.

Saludos.

[Von Damian]

Entiendo, he probado el caso particular del problema, lo interesante es demostrarlo para el caso general, pero no sé muy bien como podría demostrarlo, quiero decir el caso particular de los puntos medios es fácil de demostrar por la proporción entre los segmentos, alguna pista a tener en cuenta?

[Michel]

Hola de nuevo.

Semejaza de los triángulos APN y ABM: AP/AB=PN/BN

De forma análoga en los AQN y ACM:

Después, atención.

Saludos.

[Von Damian]

Amigo mio creo que lo tengo por las semejanzas anteriormente mencionadas \( \displaystyle\frac{AP}{AB}=\displaystyle\frac{PN}{BM} \), analogamente \( \displaystyle\frac{AQ}{AC}=\displaystyle\frac{QN}{CM} \). Ahora aplicando Thales desde el punto A a las rectas BC, y PQ que por hipótesis son pararelas obtenemos: \( \displaystyle\frac{AP}{AB}=\displaystyle\frac{AQ}{AC} \), por lo tanto \( \displaystyle\frac{PN}{BM}=\displaystyle\frac{QN}{CM}\Rightarrow{-1=\displaystyle\frac{CM}{BM}=\displaystyle\frac{QN}{PN}} \) ( M punto medio del segmento BC) por lo tanto se concluye que N es el punto medio del segmento PQ, y queda probado el enunciado.