[Raúl Aparicio Bustillo]

Euclides basó su geometría en 5 postulados (aunque parece ser que coló inconscientemente algún postulado no enunciado en alguna demostración) Hilbert corrigió esto con una interminable lista de 19 postulados. ¿Realmente no se puede desarrollar la geometría euclidea con rigor sin recurrir a estos postulados de Hilbert, que aunque en su mayoría son intuitivamente claros, algunos, como el de continuidad y completitud, son tremendamente complejos, aparte de la complejidad de estudiar tal cantidad de axiomas?

[Weip]

Bueno, el enfoque actual usa pocos axiomas porque la geometría (afín o proyectiva por ejemplo) se apoya en el álgebra lineal. Eso hace que con pocos axiomas y unas cuantas definiciones puedas hacer geometría. Lo malo es que antes de hacer geometría hay que aprender cosas de otras ramas de las matemáticas.

[feriva]

¿Realmente no se puede desarrollar la geometría euclidea con rigor...?

En este foro, Michel, por ejemplo, está poniendo problemas de geometría sintética todos los días sin preocuparse de que puedan explotarle como si de una bomba se tratara; si han estado funcionando desde hace siglos, ¿qué podría hacer que dejaran de funcionar? Sólo si se introducen consideraciones nuevas puede pasar eso (o si hubiera algún error de bulto, cosa muy difícil, porque ya lo habría visto alguien y, de cualquier manera, no afectaría a la consistencia, los fundamentos no tendrían la culpa en ese caso, sería un error humano como los muchos que cometemos a diario). Si es debido a consideraciones nuevas, tampoco pasa nada, porque todo sigue valiendo si se restringe a las consideraciones antiguas.

La Wiki ha añadido algo que, creo, hasta hace poco no venía en cuanto a este tema, en este enlace

http://es.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Hilbert

dice:

 “Últimamente, la consistencia de toda la matemática puede ser reducida a aritmética básica.”

Parece evidente, si hoy consideramos que 8+8=16, mañana no puede ser 8+8=15 a no ser que alguien se equivoque haciendo alguna cuenta o a no ser que alguien defina algo nuevo o “nuevo”. No hay otra posibilidad.

¿Hay un grado de rigor o el rigor es una cosa que no tiene grados? Lo pregunto porque no sé cómo se considera, no es retórica. Entonces, si lo hubiera, tendrás que decir cuánto rigor quieres, si es que es posible definirlo y cuantificarlo. Si no hubiera grados, cómo se entiende en matemáticas el concepto de “rigor absoluto” (no es una pregunta en especial para ti, es para cualquiera que sepa contestármela).

Se me ocurre suponer que una teoría será rigurosa, entre otras cosas que quizá se puedan considerar, cuando todo lo que ya hay demostrado en ella no “viola” los axiomas; y lo pongo entre comillas porque dos axiomas contradictorios (contradictorios a nuestro entender, digamos paradójicos si se quiere) pueden no molestarse; quiero decir que en la práctica matemática pueden (y de hecho ocurre) no dar problemas. Es más, como sabemos, lo que sí suele dar problemas es eliminar alguno de esos axiomas que presentan paradojas o cosas que nuestra mente no puede entender.
 
Eso en cuanto a todo lo que haya demostrado en la teoría; y en cuanto a lo que quede por demostrar, habrá cosas que quizá no se puedan demostrar, pero eso no hará falsa a la teoría, la hará insuficiente para demostrar "todo", simplemente (pongo "todo", entre comillas, porque no sé cuánto es lo que se supone que hay que demostrar para considerar una teoría axiomática "suficiente"). Y ya no sigo explicando por qué pongo "suficiente" entre comillas, no vaya a ser que no acabe.

Saludos.